openGL坐标系包括旋转,平移,缩放被塞在一个矩阵里面。
坐标系之间的转换基础是矩阵的运算。
每个矩阵代表的坐标系,就是是原点坐标系通过旋转。平移,缩放得到的坐标系。
当一个矩阵右乘一个向量或是还有一个矩阵,意味着把右边的变换。变成相对于左边的矩阵坐标系之上。
假设把一个世界坐标的X转换到一个矩阵上,我们能够矩阵右乘这个坐标:
static float multiplyMX(Matrix4* matrix, float x) {
return matrix->m[0] * x + matrix->m[4] + matrix->m[8] + matrix->m[12];
}
假设把一个世界坐标Y转换到一个矩阵上。我们能够矩阵右乘这个坐标:
static float multiplyMY(Matrix4* matrix, float y) {
return matrix->m[1] + matrix->m[5] * y + matrix->m[9] + matrix->m[13];
}
假设把一个世界坐标点转换到一个矩阵上,我们能够矩阵右乘这个点:
static void multiplyMV4(Matrix4* matrix, float x, float y, float z, float w, Out(Vector4* result)) {
result->v[0] = matrix->m[0] * x + matrix->m[4] * y + matrix->m[8] * z + matrix->m[12] * w;
result->v[1] = matrix->m[1] * x + matrix->m[5] * y + matrix->m[9] * z + matrix->m[13] * w;
result->v[2] = matrix->m[2] * x + matrix->m[6] * y + matrix->m[10] * z + matrix->m[14] * w;
result->v[3] = matrix->m[3] * x + matrix->m[7] * y + matrix->m[11] * z + matrix->m[15] * w;
}
static void multiplyMV3(Matrix4* matrix, float x, float y, float z, Out(Vector3* result)) {
result->v[0] = matrix->m[0] * x + matrix->m[4] * y + matrix->m[8] * z + matrix->m[12];
result->v[1] = matrix->m[1] * x + matrix->m[5] * y + matrix->m[9] * z + matrix->m[13];
result->v[2] = matrix->m[2] * x + matrix->m[6] * y + matrix->m[10] * z + matrix->m[14];
}
static void multiplyMV2(Matrix4* matrix, float x, float y, Out(Vector2* result)) {
result->v[0] = matrix->m[0] * x + matrix->m[4] * y + matrix->m[8] + matrix->m[12];
result->v[1] = matrix->m[1] * x + matrix->m[5] * y + matrix->m[9] + matrix->m[13];
}
假设把一个世界坐标系转换到一个矩阵上,我们矩阵右乘这个矩阵:
static void multiplyMM(Matrix4* left, Matrix4* right, Out(Matrix4* result)) {
result->m[0] = left->m[0] * right->m[0] + left->m[4] * right->m[1] + left->m[8] * right->m[2] + left->m[12] * right->m[3];
result->m[1] = left->m[1] * right->m[0] + left->m[5] * right->m[1] + left->m[9] * right->m[2] + left->m[13] * right->m[3];
result->m[2] = left->m[2] * right->m[0] + left->m[6] * right->m[1] + left->m[10] * right->m[2] + left->m[14] * right->m[3];
result->m[3] = left->m[3] * right->m[0] + left->m[7] * right->m[1] + left->m[11] * right->m[2] + left->m[15] * right->m[3];
result->m[4] = left->m[0] * right->m[4] + left->m[4] * right->m[5] + left->m[8] * right->m[6] + left->m[12] * right->m[7];
result->m[5] = left->m[1] * right->m[4] + left->m[5] * right->m[5] + left->m[9] * right->m[6] + left->m[13] * right->m[7];
result->m[6] = left->m[2] * right->m[4] + left->m[6] * right->m[5] + left->m[10] * right->m[6] + left->m[14] * right->m[7];
result->m[7] = left->m[3] * right->m[4] + left->m[7] * right->m[5] + left->m[11] * right->m[6] + left->m[15] * right->m[7];
result->m[8] = left->m[0] * right->m[8] + left->m[4] * right->m[9] + left->m[8] * right->m[10] + left->m[12] * right->m[11];
result->m[9] = left->m[1] * right->m[8] + left->m[5] * right->m[9] + left->m[9] * right->m[10] + left->m[13] * right->m[11];
result->m[10] = left->m[2] * right->m[8] + left->m[6] * right->m[9] + left->m[10] * right->m[10] + left->m[14] * right->m[11];
result->m[11] = left->m[3] * right->m[8] + left->m[7] * right->m[9] + left->m[11] * right->m[10] + left->m[15] * right->m[11];
result->m[12] = left->m[0] * right->m[12] + left->m[4] * right->m[13] + left->m[8] * right->m[14] + left->m[12] * right->m[15];
result->m[13] = left->m[1] * right->m[12] + left->m[5] * right->m[13] + left->m[9] * right->m[14] + left->m[13] * right->m[15];
result->m[14] = left->m[2] * right->m[12] + left->m[6] * right->m[13] + left->m[10] * right->m[14] + left->m[14] * right->m[15];
result->m[15] = left->m[3] * right->m[12] + left->m[7] * right->m[13] + left->m[11] * right->m[14] + left->m[15] * right->m[15];
}
这就是利用矩阵, 把一个世界坐标系的坐标,转换到局部坐标系的方法。
那么。怎样把一个局部坐标系转换到世界坐标系呢?
这里须要得到局部坐标系相应矩阵的逆矩阵,这个矩阵包括了还原矩阵操作的变换。
然后,把逆矩阵当做左边的矩阵,去右乘局部坐标点, 我们就能够得到局部坐标变成世界坐标后的坐标。
static bool tryInvert(Matrix4* matrix, Out(Matrix4* result)) {
float a0 = matrix->m[0] * matrix->m[5] - matrix->m[1] * matrix->m[4];
float a1 = matrix->m[0] * matrix->m[6] - matrix->m[2] * matrix->m[4];
float a2 = matrix->m[0] * matrix->m[7] - matrix->m[3] * matrix->m[4];
float a3 = matrix->m[1] * matrix->m[6] - matrix->m[2] * matrix->m[5];
float a4 = matrix->m[1] * matrix->m[7] - matrix->m[3] * matrix->m[5];
float a5 = matrix->m[2] * matrix->m[7] - matrix->m[3] * matrix->m[6];
float b0 = matrix->m[8] * matrix->m[13] - matrix->m[9] * matrix->m[12];
float b1 = matrix->m[8] * matrix->m[14] - matrix->m[10] * matrix->m[12];
float b2 = matrix->m[8] * matrix->m[15] - matrix->m[11] * matrix->m[12];
float b3 = matrix->m[9] * matrix->m[14] - matrix->m[10] * matrix->m[13];
float b4 = matrix->m[9] * matrix->m[15] - matrix->m[11] * matrix->m[13];
float b5 = matrix->m[10] * matrix->m[15] - matrix->m[11] * matrix->m[14];
// Calculate the determinant.
float det = a0 * b5 - a1 * b4 + a2 * b3 + a3 * b2 - a4 * b1 + a5 * b0;
// Close to zero, can't invert.
if (fabs(det) < FLT_EPSILON) {
return false;
}
float scalar = 1.0f / det;
// Support the case where matrix == result
result->m[0] = ( matrix->m[5] * b5 - matrix->m[6] * b4 + matrix->m[7] * b3) * scalar;
result->m[1] = (-matrix->m[1] * b5 + matrix->m[2] * b4 - matrix->m[3] * b3) * scalar;
result->m[2] = ( matrix->m[13] * a5 - matrix->m[14] * a4 + matrix->m[15] * a3) * scalar;
result->m[3] = (-matrix->m[9] * a5 + matrix->m[10] * a4 - matrix->m[11] * a3) * scalar;
result->m[4] = (-matrix->m[4] * b5 + matrix->m[6] * b2 - matrix->m[7] * b1) * scalar;
result->m[5] = ( matrix->m[0] * b5 - matrix->m[2] * b2 + matrix->m[3] * b1) * scalar;
result->m[6] = (-matrix->m[12] * a5 + matrix->m[14] * a2 - matrix->m[15] * a1) * scalar;
result->m[7] = ( matrix->m[8] * a5 - matrix->m[10] * a2 + matrix->m[11] * a1) * scalar;
result->m[8] = ( matrix->m[4] * b4 - matrix->m[5] * b2 + matrix->m[7] * b0) * scalar;
result->m[9] = (-matrix->m[0] * b4 + matrix->m[1] * b2 - matrix->m[3] * b0) * scalar;
result->m[10] = ( matrix->m[12] * a4 - matrix->m[13] * a2 + matrix->m[15] * a0) * scalar;
result->m[11] = (-matrix->m[8] * a4 + matrix->m[9] * a2 - matrix->m[11] * a0) * scalar;
result->m[12] = (-matrix->m[4] * b3 + matrix->m[5] * b1 - matrix->m[6] * b0) * scalar;
result->m[13] = ( matrix->m[0] * b3 - matrix->m[1] * b1 + matrix->m[2] * b0) * scalar;
result->m[14] = (-matrix->m[12] * a3 + matrix->m[13] * a1 - matrix->m[14] * a0) * scalar;
result->m[15] = ( matrix->m[8] * a3 - matrix->m[9] * a1 + matrix->m[10] * a0) * scalar;
return true;
}
是的有些矩阵是没有逆矩阵的,所以求逆矩阵的操作会失败。世界坐标系的意义,就是坐标是相对于原点坐标系的。
局部坐标系的意义。就是坐标不是相对于原点坐标系。而是相对于某个详细的坐标系。
局部坐标系是能够通过上面的方法互相转换的。
那么怎样在局部坐标系之间互相转换呢?
我们无法把一个局部坐标系的坐标,一次就变化成还有一个局部坐标系上。
由于两个不同的局部坐标的坐标。都是相对于各自的坐标系。也就是參考系不同。
但。我们能够,把一个局部坐标系,转换到世界坐标系。以后再从世界坐标系转换到还有一个局部坐标系上。
坐标系转换的意义是什么?
假设我们可以恰当的选取坐标系。在进行坐标计算的时候,会简化非常多运算和思考的模型。
由于一个物体坐标的变化总是在父类坐标之内的,也就是相对于父类坐标系去变化。
这个父类坐标系。要么世界坐标系,要么就是某个详细的坐标系。
而我们这里讨论的坐标转换的模型是这种。
一个坐标终于呈如今屏幕上,我们假设改动了坐标的父坐标系,通过坐标系的转化。而保持这个坐标终于呈现的位置不变。
打一个例如
假设一个坐标(0, 0)在世界坐标系上,终于呈现出来的就是在(0, 0)点处。
我们如今把这个坐标,放到一个在(5, 5)处的坐标系内。这样这个坐标全部的数值都像相对于(5, 5)这个坐标系的。
那么,(0, 0)终于呈现的就是在(5, 5)处了,而不再原来的位置。
我们通过把这个坐标(0, 0)转换到(5, 5)的坐标系里,会得到新的坐标(-5, -5)这是相对于新坐标系的数值。
终于(-5, -5) 会呈如今(0, 0)的位置。
其实,在openGL绘制的时候。我们常常须要在各种不同的坐标系之间互相转换,可能是为了计算动画。可能是为了计算物理碰撞。