DP - 背包九讲之多重背包

多重背包问题

有 N 种物品和一个容量是 V 的背包。

第 i 种物品最多有 si 件，每件体积是 vi，价值是 wi。

求解将哪些物品装入背包，可使物品体积总和不超过背包容量，且价值总和最大。
输出最大价值。

输入格式
第一行两个整数，N，V，用空格隔开，分别表示物品种数和背包容积。

接下来有 N 行，每行三个整数 vi,wi,si，用空格隔开，分别表示第 i 种物品的体积、价值和数量。

输出格式
输出一个整数，表示最大价值。

数据范围
0<N,V≤100
0<vi,wi,si≤100
输入样例
4 5
1 2 3
2 4 1
3 4 3
4 5 2
输出样例：
10

学习多重背包前建议先理解 01背包 和 完全背包 传送门：
DP - 背包九讲之01背包
DP - 背包九讲之完全背包

问题大意：

给出 n 个物品和背包的最大容量 m， 接下来输入n 种物品，每个物品有这样的3个属性，体积 价值 可选的最大件数，询问背包能容纳的情况下，背包内的最大价值是多少。

问题分析

多重背包问题介于01背包和完全背包两者之间，01背包只有选与不选，而完全背包可以选无数件，我们可以把多重背包看作是01背包的变种，因为数据范围是100，我们完全可以在 01背包的基础上，枚举每种物品选几次，所以只要在01背包的基础上加一层循环，枚举一下从0 - s且体积不超过背包的容积即可。
状态转移方程：
dp[j]=max(dp[j],dp[j-k * v[i]] + k * w[i])
多重背包的朴素写法：

#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cstring>
using namespace std;
const int N = 110;
int f[N];
int main()
{
    memset(f, 0, sizeof f);
    int n, m;
    cin >> n >> m;
    for (int i = 1; i <= n; i++)
    {
      int s, w, v;
      cin >> v >> w >> s;
      for (int j = m; j >= v; j--)
        for (int k = 1; k <= s && k * v <= j; k++)//枚举到底选几个物品
          f[j] = max(f[j], f[j - k * v] + k * w);
    }
    cout << f[m] << endl;
  return 0;
}

这种写法太过暴力，只适用于数据范围极小的情况，如果将数据范围改为1e3呢，朴素写法的复杂度就变成了 1e9，一定会超时，为了应对这种情况，我们可以优化一下。

多重背包的二进制优化

前面已经说过，当数据范围1000时，枚举的复杂度是n³ 大约是1e9，我们要优化一下才能实现。
优化之前，先来了解下二进制拆数：
对于任何一个数，都可以用最多floor(log以2为底num)通过选和不选表示出来1-num的数，而且不会表示到Num+1，因为所有数之和就是num。
拿7来讲：7拆成1 2 4 用1表示选，0表示不选
1 100
2 010
3 110
4 001
5 101
6 011
7 111
s初始化为1，每次num-=s，s再x=2，直x到减到不能再减，拿9举例，9-1 = 8 8-2 = 6 6-4 = 2 最后num变成了2，那么2直接拿来用即可。9拆成 1 2 4 2
利用这个原理，我们完全可以把多重背包可选的数目s 拆成Logs个数，每种的体积是 k · v 而价值是 k · w ( k 为拆好的数 ) 这样就可以把多重背包问题转换为01背包问题了（拆成Logs种后每种就只有选和不选两种选择）。
分析一下二进制优化的复杂度 1000（物品数） x log(1000)（每种物品可选数） x 1000（容积） 这个复杂度是大约1e7的，完全可以。
因为不知道拆后的具体数是多少，这里用一个不定长数组vector来存拆好的每一个物品，之后套用01背包的模板即可实现。代码实现：

#include <cstdio>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <vector>
#include <cstring>
using namespace std;
const int N = 2010;
struct node
{
	int v, w;
};
vector<node> bag;
int f[N];
int main()
{
	memset(f, 0, sizeof f);
	int n, m;
	cin >> n >> m;
	for (int i = 0; i < n; i++)
	{
		int v, w, s;
		cin >> v >> w >> s;
		for (int j = 1; j <= s; j <<= 1)//拆数的过程
		{
			s -= j;
			bag.push_back({j * v, j * w});
		}
		if (s > 0)
			bag.push_back({s * v, s * w});
	}
	for (auto i : bag)//拆好以后就变成了bag.size()个单独的物品
		for (int j = m; j >= i.v; j--)
			f[j] = max(f[j], f[j - i.v] + i.w);
	cout << f[m] << endl;
	return 0;
}

当然，这种方式只适用于1e3左右的数据范围，当数据范围达到1e4甚至更大时，还需要另一种优化方式：多重背包的单调队列优化，由于笔者实力有限，填个坑，学会了再补上(待补)。

本文地址：https://blog.csdn.net/aezakmias/article/details/107342709