经典算法之分治（Divide）

1、分治的定义

  分治即分而治之。分治算法就是把一个大的问题分为若干个子问题，然后在子问题继续向下分，一直到base cases，通过base cases的解决，一步步向上，最终解决最初的大问题。分治算法是递归的典型应用。

2、分治的思想

分治法的设计思想是：

1. 分–将问题分解为规模更小的子问题；

2. 治–将这些规模更小的子问题逐个击破；

3. 合–将已解决的子问题合并，最终得出“母”问题的解。

3、分治的要素

（1） 该问题的规模缩小到一定的程度就可以容易地解决 。

（2） 该问题可以分解为若干个规模较小的相同问题，即该问题具有最优子结构性质。

（3）利用该问题分解出的子问题的解可以合并为该问题的解。如果具备了第一条和第二条特征，而不具备第三条特征，则可以考虑用贪心法或动态规划法。

（4）该问题所分解出的各个子问题是相互独立的，即子问题之间不包含公共的子子问题。

4、分治算法的典型应用

（1）最近点问题

  假设在坐标平面上分布了一系列的点，那么问题是求取这些点两两之间的最短距离。最naive的做法当然是穷举法，计算所有的两两点间的距离，然后取最小值。穷举法对于小样本总是不错的。但是对于大样本来说，就不是那么合适了，这里我们用divide-and-conquer算法来解决这一问题。

  首先对于所有的点，按照x坐标将其分为两部分，这就是divide，那么最短距离就是左边部分中的最短距离Dl，右边部分的最短距离Dr，以及左右部分之间的距离Dc。对于Dl以及Dr，可以递归的计算得到，这就是conquer。那么唯一的问题就是Dc。我们知道如果最短距离是Dc的话，那么Dc<=min（Dl，Dr）。因此我们只需要计算距离divide分割线S = min（Dl，Dr）的点就可以了。进一步我们可以看到对于每个在2S区域内的点，只需要计算y坐标距离这一点不大于S的点就可以，这样可以进一步简化运算量。

for(i=0;i<NumPointsInStrip;i++)  
    for(j=i+1;j<NumPointsInStrip;j++)  
        if(Pi and Pj coordinates differ by more than S)  
            break;  
        else  
            if(Dist(Pi,Pj)<S)  
                S = Dist(Pi,Pj);  

（2）其他经典问题

（1）二分搜索
（2）大整数乘法
（3）Strassen矩阵乘法
（4）棋盘覆盖
（5）合并排序
（6）快速排序
（7）线性时间选择
（8）循环赛日程表
（9）汉诺塔

参考：https://www.cnblogs.com/leishitou/p/5436201.html
https://www.cnblogs.com/leishitou/p/5436201.html