动态规划思想：石子合并问题
描述：
在一个圆形操场的四周摆放着n 堆石子。现要将石子有次序地合并成一堆。
规定每次只能选相邻的2 堆石子合并成新的一堆，并将新的一堆石子数记为该次合并的得分。
试设计一个算法，计算出将n堆石子合并成一堆的最小得分和最大得分。
开始以为通过贪心算法可能很快解决问题，可是是行不通的。
首先我们可以把这么堆石子看成一列
我们假如5堆的石子，其中石子数分别为7，6，5，7，100
•按照贪心法，合并的过程如下：
每次合并得分
第一次合并 7 6 5 7 100 =11
第二次合并 7 11 7 100=18
第三次合并 18 7 100 =25
第四次合并 25 100 =125
总得分＝11＋18＋25+125＝179
每次合并得分
第一次合并 7 6 5 7 100 ->13
第二次合并 13 5 7 100->12
第三次合并 13 12 100 ->25
第四次合并 25 100 ->125
总得分＝13＋12＋25+125＝175
显然利用贪心来做是错误的，贪心算法在子过程中得出的解只是局部最优,而不能保证使得全局的值最优。
因此我们需要通过动态规划算法来求出最优解。
在此我们假设有n堆石子，一字排开，合并相邻两堆的石子，每合并两堆石子得到一个分数，最终合并后总分数最少的。
我们设m(i,j)定义为第i堆石子到第j堆石子合并后的最少总分数。a(i)为第i堆石子得石子数量。
当合并的石子堆为1堆时，很明显m(i,i)的分数为0;
当合并的石子堆为2堆时，m(i,i+1)的分数为a(i)+a(i+1);
当合并的石子堆为3堆时，m(i,i+2)的分数为MIN((m(i,i)+m(i+1,i+2)+sum(i,i+2)),(m(i,i+1)+m(i+2,i+2)+sum(i,i+2));
当合并的石子堆为4堆时......
代码实现如下：
开始以为通过贪心算法可能很快解决问题，可是是行不通的。
首先我们可以把这么堆石子看成一列
我们假如5堆的石子，其中石子数分别为7，6，5，7，100
•按照贪心法，合并的过程如下：
每次合并得分
第一次合并 7 6 5 7 100 =11
第二次合并 7 11 7 100=18
第三次合并 18 7 100 =25
第四次合并 25 100 =125
总得分＝11＋18＋25+125＝179
每次合并得分
第一次合并 7 6 5 7 100 ->13
第二次合并 13 5 7 100->12
第三次合并 13 12 100 ->25
第四次合并 25 100 ->125
总得分＝13＋12＋25+125＝175
显然利用贪心来做是错误的，贪心算法在子过程中得出的解只是局部最优,而不能保证使得全局的值最优。
因此我们需要通过动态规划算法来求出最优解。
在此我们假设有n堆石子，一字排开，合并相邻两堆的石子，每合并两堆石子得到一个分数，最终合并后总分数最少的。
我们设m(i,j)定义为第i堆石子到第j堆石子合并后的最少总分数。a(i)为第i堆石子得石子数量。
当合并的石子堆为1堆时，很明显m(i,i)的分数为0;
当合并的石子堆为2堆时，m(i,i+1)的分数为a(i)+a(i+1);
当合并的石子堆为3堆时，m(i,i+2)的分数为MIN((m(i,i)+m(i+1,i+2)+sum(i,i+2)),(m(i,i+1)+m(i+2,i+2)+sum(i,i+2));
当合并的石子堆为4堆时......
代码实现如下：
开始以为通过贪心算法可能很快解决问题，可是是行不通的。首先我们可以把这么堆石子看成一列
我们假如5堆的石子，其中石子数分别为7，6，5，7，100
•按照贪心法，合并的过程如下：
每次合并得分
第一次合并 7 6 5 7 100 =11
第二次合并 7 11 7 100=18
第三次合并 18 7 100 =25
第四次合并 25 100 =125
总得分＝11＋18＋25+125＝179
每次合并得分
第一次合并 7 6 5 7 100 ->13
第二次合并 13 5 7 100->12
第三次合并 13 12 100 ->25
第四次合并 25 100 ->125
总得分＝13＋12＋25+125＝175
显然利用贪心来做是错误的，贪心算法在子过程中得出的解只是局部最优,而不能保证使得全局的值最优。
因此我们需要通过动态规划算法来求出最优解。
在此我们假设有n堆石子，一字排开，合并相邻两堆的石子，每合并两堆石子得到一个分数，最终合并后总分数最少的。
我们设m(i,j)定义为第i堆石子到第j堆石子合并后的最少总分数。a(i)为第i堆石子得石子数量。
当合并的石子堆为1堆时，很明显m(i,i)的分数为0;
当合并的石子堆为2堆时，m(i,i+1)的分数为a(i)+a(i+1);
当合并的石子堆为3堆时，m(i,i+2)的分数为MIN((m(i,i)+m(i+1,i+2)+sum(i,i+2)),(m(i,i+1)+m(i+2,i+2)+sum(i,i+2));
当合并的石子堆为4堆时......
代码实现如下：
#include<stdio.h>
#define N 100
/*
*求合并过程中
*最少合并堆数目
**/
int MatrixChain_min(int p[N],int n)
{
//定义二维数组m[i][j]来记录i到j的合并过成中最少石子数目
//此处赋值为-1
int m[N][N];
for(int x=1;x<=n;x++)
for(int z=1;z<=n;z++)
{
m[x][z]=-1;
}
int min=0;
//当一个单独合并时，m[i][i]设为0，表示没有石子
for(int g = 1;g<=n;g++) m[g][g]=0;
//当相邻的两堆石子合并时，此时的m很容易可以看出是两者之和
for(int i=1;i<=n-1;i++)
{
int j=i+1;
m[i][j]=p[i]+p[j];
}
//当相邻的3堆以及到最后的n堆时，执行以下循环
for(int r=3; r<=n;r++)
for(int i=1;i<=n-r+1;i++)
{
int j = i+r-1; //j总是距离i r-1的距离
int sum=0;
//当i到j堆石子合并时最后里面的石子数求和得sum
for(int b=i;b<=j;b++)
sum+=p[b];
// 此时m[i][j]为i~j堆石子间以m[i][i]+m[i+1][j]+sum结果，这是其中一种可能，不一定是最优
//要与下面的情况相比较，唉，太详细了
m[i][j] = m[i+1][j]+sum;
//除上面一种组合情况外的其他组合情况
for(int k=i+1;k<j;k++)
{
int t=m[i][k]+m[k+1][j]+sum;
if(t<m[i][j])
m[i][j] = t;
}
}
//最终得到最优解
min=m[1][n];
return min;
}
/*
*求合并过程中
*最多合并堆数目
**/
int MatrixChain_max(int p[N],int n)
{
int m[N][N];
for(int x=1;x<=n;x++)
for(int z=1;z<=n;z++)
{
m[x][z]=-1;
}
int max=0;
//一个独自组合时
for(int g = 1;g<=n;g++) m[g][g]=0;
//两个两两组合时
for(int i=1;i<=n-1;i++)
{
int j=i+1;
m[i][j]=p[i]+p[j];
}
for(int r=3; r<=n;r++)
for(int i=1;i<=n-r+1;i++)
{
int j = i+r-1;
int sum=0;
for(int b=i;b<=j;b++)
sum+=p[b];
m[i][j] = m[i+1][j]+sum;
for(int k=i+1;k<j;k++)
{
int t=m[i][k]+m[k+1][j]+sum;
if(t>m[i][j])
m[i][j] = t;
}
}
max=m[1][n];
return max;
}
int main()
{
int stone[N];
int min=0;
int max=0;
int n;
scanf("%d",&n);
for(int i=1;i<=n;i++)
scanf("%d",&stone[i]);
min= MatrixChain_min(stone,n);
max= MatrixChain_max(stone,n);
//因为题目要求圆的原因，要把所有情况都要考虑到，总共有n种情况。
for(int j=1;j<=n-1;j++)
{
int min_cache=0;
int max_cache=0;
int cache= stone[1];
for(int k=2;k<=n;k++)
{
stone[k-1]=stone[k];
}
stone[n]=cache;
min_cache= MatrixChain_min(stone,n);
max_cache= MatrixChain_max(stone,n);
if(min_cache<min)
min=min_cache;
if(max_cache>max)
max=max_cache;
}
printf("%d\n",min);
printf("%d\n",max);
return 1;
}