傅里叶变换与傅里叶级数（复习笔记）

傅里叶变换与傅里叶级数

初学者请勿深究，本文更偏向感性认知，理性推导缺乏严密性，想要扎扎实实学习推荐哈工大mooc视频（笔者非哈工大学生）和清华大学卓晴老师的微信公众号 TsinghuaJoking里面对信号与系统的讲解（笔者也非清华学生） orz
哈工大mooc链接
https://www.icourse163.org/learn/HIT-1206448828?tid=1450348458#/learn/announce
笔者最近在为了保研复习一下信号，观看的是哈工大的mooc视频，这次复习学到了第一次没有感受到的东西，觉得对傅里叶变换与傅里叶级数有了更深的理解。因为是为了保研复习，这里的内容还是偏感性和概念性，计算部分和证明部分偏少。

傅里叶级数 对应周期信号

     笔者觉得一开始轻视了这个概念的重要性，殊不知这次感悟加深一层就是由这个开始的。大二学的时候总是把三角和指数形式的黁混，概念模糊不清，造成似懂非懂，较真的时候也不敢确认。

实际上对于周期信号而言只有傅里叶级数展开，对于非周期信号而言只有傅里叶级数。

周期信号—三角形式的傅里叶级数展开

对于一个周期信号（非任意），可以通过若干个三角函数的线性组合来表述这个周期信号。 ----笔者理解
现在解释这个公式

w1代表f（t）的信号的周期对应的角频率；

注意n此时是从1到正无穷；

这个公式一共包含三类未知数，即a0，an，bn；换句话说，如果知道一个信号的an，bn，a0；那么这个信号的全部信息我们就已经知道了；

对于这个公式的起源不作追究；（非数学专业太深的就不感兴趣了）

注意每一个nw1对应的是一组cosnw1和sinnw1的线性组合，也就意味着周期信号必然是无穷个离散的正余弦信号的线性组合。

现在对这个公式换一种表述，其结果是更常用，更容易理解的一种方式

对于这两个公式，不难发现可以更容易的对f（t）进行理解。
即对一个周期信号（非任意），我们可以用一个常数和无穷个余弦函数或者正弦函数的线性组合来表示它，而且这些正弦或者余弦信号之间的角频率是规律的，即nw1；

对于每一个w = nw1， 都对应一个Cn和FAIn（角度）。所以对一每一个nw1（也就是n），都有一个唯一的幅值Cn和角度FAIn与之对应，即可以总结为两个函数：幅度谱和相位谱。笔者之后接触到的大部分是幅度谱，相位谱鲜有接触；

注意这里的Cn an bn都是实数！也就是说这里的组合都是实数域之间的线性组合。

注意这里的谱线并不是我们之后常用到的，这里的n从1变化到正无穷，不存在负角频率。

周期信号—指数的傅里叶级数展开

对于频谱的概念，其实都是相对于将信号进行指数形式的展开而言的，三角形式的帮我们更好的理解了傅里叶级数展开的概念，告诉我们确确实实可以用正余弦函数的线性组合来组成一个周期信号（笔者大二的时候对这个就梦棱两可）但是当进一步使用的时候我们都用指数的傅里叶级数展开。

这里用到了欧拉公式，将三角形式的展开通过欧拉公式变成了指数形式的傅里叶展开，指数形式应用更广，便于计算，也便于工程使用，但是本质上数学上两个是一样的。

可以看到，对于每一个n，对应的余弦函数都可以分解为n和-n两个，而且幅值各占一半

这里给出Fn的计算公式。注意这里计算出的Fn是个复数，也就是说即有幅值又有相位；

实信号傅里叶级数的特点

理解：1.每个分量的幅度一分为二，在正负频率相对应的位置上各一半；只有把正负频率上对应的两条谱线矢量相加起来才代表一个分量的幅度。

傅里叶变换 对应非周期信号

之前提到了傅里叶级数，其实对于周期信号而言并不涉及傅里叶变换的概念，因为简单地通过傅里叶级数（如果有的话）就可以在频率上表示这个周期信号对应的频谱。傅里叶变换是相对于非周期信号而言的。
这里直接给出傅里叶变换和傅里叶反变换


这里先给出的傅里叶反变换，目的是从信号的角度考虑傅里叶变换。对比傅里叶级数

可以很简单粗暴的理解：非周期信号就是周期无穷大，w1无穷小；那么在频域上，就把求和变成积分，周期信号的离散的相加，非周期信号就是连续的积分；
看到傅里叶变换，其实就是表达每个频率点的复数值，将复数值变为幅值和相位那就可以得到频率谱和相位谱。

结论：和周期信号不一样，非周期信号可分解为许多不同频率的正余弦信号；非周期信号的周期趋于无限大，基波趋于无穷小，包含从零到无限搞的所有频率分量；