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杜教筛入门

程序员文章站 2022-07-02 13:58:33
Orz OO0OOO00O0OOO0O00OOO0OO 前置知识 狄利克雷卷积 杜教筛 套路 杜教筛是用来求一类积性函数的前缀和 它通过各种转化,最终利用数论分块的思想来降低复杂度 假设我们现在要求$S(n) = \sum_{i = 1}^n f(i)$,$f(i)$为积性函数,$n \leqsla ......

Orz  

前置知识

杜教筛

套路

杜教筛是用来求一类积性函数的前缀和

它通过各种转化,最终利用数论分块的思想来降低复杂度

假设我们现在要求$S(n) = \sum_{i = 1}^n f(i)$,$f(i)$为积性函数,$n \leqslant 10^{12}$

直接求肯定是不好求的,不过现在假设有另一个积性函数$g$

我们来求它们狄利克雷卷积的前缀和

$$(g * f) = \sum_{i = 1}^n \sum_{d \mid i} g(d) f(\frac{i}{d})$$

$$= \sum_{d = 1}^n g(d) \sum_{d|i} f(\frac{i}{d})$$

$$= \sum_{d = 1}^n g(d) \sum_{i = 1}^{\frac{n}{d}}f(i)$$

$$= \sum_{d = 1}^n g(d) S(\frac{n}{d})$$

然后就化不动了,不过我们发现我们化出了$\frac{n}{d}$!excited

但是$S(n)$怎么求呢?

容斥一下

$$g(1)S(n) = \sum_{d = 1}^n g(d)S(\frac{n}{d}) - \sum_{d = 2}^n g(d)S(\frac{n}{d})$$


前半部分是狄利克雷卷积的前缀和的形式

后半部分可以数论分块。这样看起来就好搞多了

现在我们的问题是,如何选择$g$才能使得上面这个式子好算

这个就要因情况而定了

下面煮几个典型栗子

$\mu$函数

定理:$\sum_{d \mid n} \mu(d) = [n = 1]$

那么我们如果选择$g = e$,$e$为原函数,$e = [n = 1]$

$g$与$\mu$的卷积的前缀和肯定为$1$

上面的式子变为

$S(n) = 1 - \sum_{d = 2}^n S(\frac{n}{i})$

后半部分直接数论分块就好

$\varphi$函数

定理:$\sum_{d \mid n}\varphi(d) = n$

我们的$g$还是选$e$做卷积

我们要求得式子变为

$$S(n) = \frac{n * (n + 1)}{2} - \sum_{d = 2}^n S(\frac{n}{i})$$

前半部分$O(1)$算,后半部分数论分块

题目

目前没有做多少题目,而且我的杜教筛是分两波学的,所以码风差异可能比较大qwq。

如果需要真·杜教筛题目的话可以去看糖教的博客

https://blog.csdn.net/skywalkert/article/details/50500009

参考资料