图论-最短路径

昨天： 图论-概念与记录图的方法

以上是昨天的blog，有需要者请先阅读完以上再阅读今天的blog。

可能今天的有点乱，好好理理，认真看完相信你会懂得

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第二天

引子：昨天我们简单讲了讲图的概念与记录图的方法，那么大家有一定的底子了，我们就开始初步接触图论算法了！

我们只讲dijkstra和floyd，因为其实在比赛中会这两个算法就很好了。

今天我们要讲的是：最短路径问题

top1：最短路的概念

相信大家都知道有一款made in china的导航软件——百度导航。那么他们是怎么为我们导航的？就是使用了今天我们要学的问题 最短路径 。

说不定你学了之后就可以做一个导航的 是不是有点小激动？

$\color{red}\text{ 重点：最短路问题就是一个点到另一个最短的路径！ }$

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最短路专业术语：

松弛： 既然求一个点到另一个点最短的路径，那么肯定就会有更优的路径替代目前路径的操作。这就叫做 松弛操作。

中转点： 一个点到另一个点不一定是有直接道路连接的，可能会经过一些别的点，我们就叫那些点叫做 中转点 。

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top2:floyd算法

现在大家都知道最短路是什么了，那么从简单到复杂，我们先来看看新手必懂的算法。

floyd简单粗暴，就是枚举三个点，一个起点，一个终点，一个中转点。看 起点到中转点的路径 加上 中转点到终点的路径 是不是小于 目前起点到终点的路径 即可（就是不断松弛）。

显而易见，floyd算法很好懂，就是时间复杂度高了点—— $n^3$ 的复杂度。而且，floyd是多源最短路，询问时只需调用dis就行了。

所以， 当 n 大于1000时，慎用！

代码就很简答啦(蒟蒻用邻接矩阵写的)：

//如果为无向图,dis就会对称,floyed的j就只要到i,且dis[i][j]dis[j][i] 要一起更新 
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn = 1000 + 10;
int n,m;
int x,y,z;
int dis[maxn][maxn];
void floyd(){
    for(int k = 1;k <= n; k++)
        for(int i = 1;i <= n; i++)
            for(int j = 1;j <= n/*i*/; j++)
                if(dis[i][k] + dis[k][j] < dis[i][j])dis[i][j] = dis[i][k] + dis[k][j];
    return;
}
int main(){
    cin>>n>>m;
    for(int i = 1;i <= n; i++)dis[i][i] = 0;
    for(int i = 1;i <= n; i++)
        for(int j = 1;j <= n; j++){
            if(i != j)dis[i][j] = 1e9;
        }
    for(int i = 1;i <= m; i++){
        cin>>x>>y>>z;
        dis[x][y] = z;
    }
    floyd();
    for(int i = 1;i <= n; i++){
        for(int j = 1;j <= n; j++){
            cout<<dis[i][j]<<" ";
        }
        cout<<endl;
    }
    return 0;
}

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top3：dijkstra算法

dijkstra与floyd相反，是单元最短路，即只能求出一个点到其他所有点的最短路。

dijkstra属于贪心的思想，正解：

首先定义两个种类——黑点和白点，黑点就是在目前算完最短路径的点，白点反之。

每次在白点中找一个离目前任意一个黑点最近的，加入黑点，更新白点到原点的最短路即可。

代码如下：注意：这里的dis不再是邻接矩阵，是单源最短路径。tot才是邻接矩阵！

邻接矩阵，蒟蒻是用洛谷p1828 香甜的黄油 sweet butter 作为例题写的模板，体谅一下

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn = 100 + 10;
struct node{
    int x,y;
}f[maxn];
int n,m,a,b,s,t;
bool black[maxn];
double dis[maxn];
double tot[maxn][maxn];
double calc(int i,int j){
    return sqrt((f[i].x - f[j].x) * (f[i].x - f[j].x) + (f[i].y - f[j].y) * (f[i].y - f[j].y));
}
double dijkstra(int start,int end){
    for(int i = 1;i <= n; i++){
        dis[i] = tot[start][i];
    }
    dis[start] = 0;
    black[start] = true;
    for(int i = 1;i < n; i++){
        double m = 2e9;
        int u = start;
        for(int j = 1;j <= n; j++){
            if(dis[j] < m && !black[j]){
                m = dis[j];
                u = j;
            }
        }
        if(u == start)continue;
        //此处的判断与前面的u = start对应,若该图存在一个单独的点这里就要加上
        //否则可以u = 0,这个判断删掉 
        black[u] = true;
        for(int j = 1;j <= n; j++){
            if(black[j])continue;
            if(dis[u] + tot[u][j] < dis[j]){
                dis[j] = dis[u] + tot[u][j];
            }
        }
    }
    return dis[end];
} 
int main(){
    scanf("%d",&n);
    for(int i = 1;i <= n; i++)
        for(int j = 1;j <= n; j++){
            tot[i][j] = i == j ? 0 : 1e9;
        }
    for(int i = 1;i <= n; i++){
        scanf("%d%d",&f[i].x,&f[i].y);
    }
    scanf("%d",&m);
    for(int i = 1;i <= m; i++){
        scanf("%d%d",&a,&b);
        tot[a][b] = calc(a,b);
        tot[b][a] = tot[a][b];
    }
    scanf("%d%d",&s,&t);
    printf("%.2f",dijkstra(s,t));
    return 0;
}

所以，dijkstra的时间复杂度是 $n^2$

怎么优化呢？很简单——在寻找离黑点最近的白点时，使用优先队列即可。

优先队列dijkstra：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn = 800 + 10;
const int max = 1e9;
int n,m,p,x,y,z;
int a[maxn];
int dis[maxn];
int tot[maxn][maxn];
vector<int> nei[maxn];
struct node{
    int num,dist;
    bool operator < (const node& next) const {
        return dist > next.dist;
    }
};
void dijkstra(int start){
    priority_queue <node> cow;
    for(int i = 1;i <= n; i++){
        dis[i] = 2e9;
    }
    dis[start] = 0;
    node tt = {start,0};
    cow.push(tt);
    while(!cow.empty()){
        tt = cow.top();
        cow.pop();
        int u = tt.num;
        for(int i = 0;i < nei[u].size(); i++){
            int p = nei[u][i];
            if(dis[u] + tot[u][p] < dis[p]){
                dis[p] = dis[u] + tot[u][p];
                node next;
                next.num = p;
                next.dist = dis[p];
                cow.push(next);
            }
        }
    }
    return;
} 
int main(){
    scanf("%d%d%d",&n,&m);
    for(int i = 1;i <= n; i++)
        for(int j = 1;j <= i; j++){
            tot[i][j] = tot[j][i] = i == j ? 0 : max;
        }

    for(int i = 1;i <= m; i++){
        scanf("%d%d%d",&x,&y,&z);
        tot[x][y] = z;
        tot[y][x] = z;
        nei[x].push_back(y);
        nei[y].push_back(x);
    }

    int s,t;
    scanf("%d%d",&s,&t);
    dijkstra(s);
    cout<<dis[t]<<"\n";
    return 0;
}

顺便带一下spfa的算法模板和用动态数组记录的dijkatra(这里不做详解了，有需要的人可以复制看一下)

spfa：

#include<iostream>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#include<queue>
#include<cstring> 
using namespace std;
int n, p, c, cow[801], a, b, d, cnt = 0, sum = 0, ans = 2147483647;
int dis[10000], w[10000], next[10000], to[10000], first[10000] = {0};
bool exist[10000] = {false};
queue<int> q;

void addedge(int u, int v, int weight)
{
    cnt++; //边的编号 
    to[cnt] = v; //第cnt条边指向点v 
    w[cnt] = weight; //第cnt条边的权值 
    next[cnt] = first[u]; // 第cnt条边指向连接点u的第一条边 
    first[u] = cnt; //将连接点u的第一条边更新为第cnt条边
    return; 
} 

void spfa(int start)
{
    memset(exist, false, sizeof(exist)); //一开始所有点在队列外 
    memset(dis, 0x7f, sizeof(dis)); //将所有点到起始点的距离置为极大值 
    dis[start] = 0; 
    q.push(start); //起始点入队列 
    exist[start] = true; 
    while(!q.empty())
    {
        int head = q.front(); //取队列的第一个点 
        q.pop();
        exist[head] = false;
        for(int e = first[head]; e != 0; e = next[e]) //循环head连接的每一条边 
        {
            //松弛操作 
            if(dis[head] + w[e] < dis[to[e]])
            {
                dis[to[e]] = dis[head] + w[e];
                if(exist[to[e]] == false)
                {
                    q.push(to[e]); //将被更新的点入队列 
                    exist[to[e]] = true;
                }
            }
        }
    }
    return;
}

int main()
{
    cin >> n >> p >> c;
    for(int i=1; i <= n; i++) //输入每头牛所在的位置 
    {
        cin >> cow[i];
    }
    for(int e=1; e <= c; e++) //输入每一条边 
    {
        cin >> a >> b >> d;
        addedge(a, b, d);
        addedge(b, a, d);
    }
    for(int i=1; i <= p; i++) //注意是循环牧场
    {
        spfa(i);
        sum = 0;
        for(int j=1; j <= n; j++)
        {
            sum = sum + dis[cow[j]];
        }
        ans = min(ans, sum);
    }
    cout << ans;
    return 0;
}

动态数组dijkstra：

#include<iostream>
#include<cmath>
#include<queue>
#include<vector>
using namespace std;
int n, p, c;
const int inf = 1e9;
int cow[805], dis[805], vertex[805][805];
vector<int> neighbor[805]; 

struct node
{
    int id, dist;
    bool operator < (const node & second) const
    {
        return dist > second.dist;
    }
};

void dijkstra(int start)
{
    priority_queue<node> pq;
    for(int i = 1; i <= p; i++)
    {
        dis[i] = inf;
    }
    dis[start] = 0;
    node cur = {start, 0}; //起始点和其到dis[start] 
    pq.push(cur);
    while(!pq.empty())
    {
        cur = pq.top();
        pq.pop();
        int u = cur.id;
        for(int i=0; i <= neighbor[u].size() - 1; i++)
        {
            int v = neighbor[u][i]; //与u相邻的边v 
            if(dis[u] + vertex[u][v] < dis[v])
            {
                dis[v] = dis[u] + vertex[u][v];
                node next;
                next.id = v;
                next.dist = dis[v];
                pq.push(next);
            }
        }
    }
    return;
} 

int main()
{
    cin >> n >> p >> c;
    for(int i = 1; i <= n; i++) //输入每头牛所在的位置 
    {
        cin >> cow[i];
    }
    for(int i=1; i <= p; i++)
    {
        for(int j=1; j <= p; j++)
        {
            vertex[i][j] = (i == j) ? 0 : inf;
        }
    }
    for(int i=1; i <= c; i++) //输入每一条边 
    {
        int a, b, d;
        cin >> a >> b >> d;
        vertex[a][b] = d;
        vertex[b][a] = d;
        neighbor[a].push_back(b);
        neighbor[b].push_back(a); 
    }
    int ans = inf;
    for(int i=1; i <= p; i++) //注意是循环牧场
    {
        dijkstra(i); //假如把糖放在第i个牧场 
        int sum = 0;
        for(int j=1; j <= n; j++)
        {
            sum = sum + dis[cow[j]];
        }
        ans = min(ans, sum);
    }
    cout << ans;
    return 0;
}

好了，第二天就到这里，是不是都听懂了呢狗屁？欢迎在下方留言！