2018.08.30【SCOI2017】D2T1 花园 （期望DP）

题目描述

小 A 的花园的长和宽分别是 L，H 。小 A 喜欢在花园里做游戏。每次做游戏的时候，他都先把花园均匀分割成 L×H 个小方块，每个方块的长和宽都是 1 。然后，小 A 会从花园的西北角的小方块出发，按照一定的规则移动，在到达花园东南角的小方块时结束游戏。每次行动时，他都会移动到当前所在的小方块的东面或南面相邻的小方块上。如果小 A 当前在从北向南数第 i 块，从西向东数第 j 块小方块上，他向东移动的概率是 Pij ，向南移动的概率则是 1-Pij 。

在花园里做游戏常常会弄脏衣服，花园的每个小方块内都有一定的不干净度，用 Dij 表示。而一次游戏结束后，小 A 总的不干净度就是他经过的所有格子中不干净度之和（起点和终点的不干净度也计算在内）。

小 B 因为小 A 经常把衣服弄脏感到苦恼，他可能会决定在小 A 做游戏前对花园进行一次打扫。小 B 在打扫花园时，会从花园的西北角的小方块出发，每次移动到当前所在的小方块的东面或南面相邻的小方块上，在到达花园的东南角时结束打扫，他经过的所有的格子的不干净度都会变为 0 。现在，小 B 想知道，在他选择了最优的打扫策略的情况下，小 A 做完游戏后总不干净度之和是多少？

输入格式

第一行输入两个空格隔开的正整数 L、H。

第二行一个整数 k，值为 0 或 1 ，k=0 表示小B不会打扫花园，k=1 表示小B会在游戏开始前打扫花园。

接下来 L 行，每行有 H 个自然数，第 i 行第 j 个数表示从北往南数第 i 个，从西往东数第 j 个小方块的不干净度 Dij 。

接下来 L 行，每行有 H 个实数，第 i 行第 j 个数表示从北往南数第 i 个，从西往东数第 j 个小方块的参数 Pij 。

输出格式

输出一个整数，表示问题的答案，四舍五入保留到整数。

样例数据

输入

3 3
1
200 100 100
200 100 300
100 200 300
0.2 0.8 0.0
0.8 0.3 0.0
1.0 1.0 1.0

输出

161

备注

【数据范围】

你的答案必须和标准输出完全一致才能得分，为确保精度误差在一定范围内的答案能被接受，

保证准确答案的小数点后第 1 位数字不是 4 或 5 。
0≤Dij≤10000 ；
0≤Pij≤1 最多包含两位小数 ；
PLi=1 (1≤i＜H) 且 PiH=0 (1≤i＜L)，即走到棋盘外的概率为 0 ，最终必然会到达东南角结束。PLH=1，但到达这里时旅途已经结束了，这个数没有意义；
1≤L,H≤3000 。

特殊性质：0 表示没有特殊性质，1 表示除了最后一行和最后一列的小方块外，所有的小方块的参数都为 0.5 。

---

解析：

感觉是期望$DP$DP水题啊。不过作为$D2T1$D2T1应该还行吧。

$f$f记录走到每个点的概率。
$g$g记录走到每个点期望获得的最大脏度。

根据期望的线性性，这样每个点的概率$f[i][j]*$f[i][j]∗脏度$D[i][j]$D[i][j]就是不打扫的期望脏度，打扫的期望脏度减去走到终点的最大期望就行了。

这道题不难，但是要对期望的线性性理解透彻。

---

代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define re register
#define ll long long
#define gc getchar
#define pc putchar
#define cs const
#define st static

inline
int getint(){
	re int num=0;
	re char c=gc();
	for(;!isdigit(c);c=gc());
	for(;isdigit(c);c=gc())num=(num<<1)+(num<<3)+(c^48);
	return num;
}

inline 
double getdb(){
    re double x=0,y=1.0;
	re char c=0;
    for(;!isdigit(c);c=gc());
    for(;isdigit(c);c=gc())x=x*10+(c^48);
    if(c!='.')return x;
    for(c=gc();isdigit(c);c=gc())x+=(y/=10)*(c^48);
    return x;
}

int l,h;
int k;
double D[1005][1005];
double P[1005][1005],f[1005][1005],g[1005][1005];
double ans;

int main(){
	l=getint();
	h=getint();
	k=getint(); 

	for(int re i=1;i<=l;++i)
	for(int re j=1;j<=h;++j)
	D[i][j]=getint();
	
	for(int re i=1;i<=l;++i)
	for(int re j=1;j<=h;++j)
	P[i][j]=getdb();
	
	ans=D[1][1];
	f[1][1]=1;g[1][1]=D[1][1];
	for(int re i=1;i<=l;++i)
	for(int re j=1;j<=h;++j){
		if(i==1&&j==1)continue;
		f[i][j]=f[i][j-1]*P[i][j-1]+f[i-1][j]*(1-P[i-1][j]);
		ans+=(g[i][j]=f[i][j]*D[i][j]);
		g[i][j]+=max(g[i][j-1],g[i-1][j]);
	}
	printf("%.0lf",ans-g[l][h]*k);
	return 0;
}