无向联通图的二分染色与存在奇环的性质分析
程序员文章站
2022-03-12 09:53:24
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题引
题解及思路
题中给出了无向图的两种存在形状 二分染色 和 存在奇环
首先我们需要证明的是两者是互斥的。
二分图定义 :是这样一个图,其顶点可分为两集合X和Y,所有的边关联的两顶点中,恰一个属于X,另一个属于Y。同一集合的结点不相邻。
证明:假设二分图中的环是奇数环。
设一个环,x1,x2,x3,,,,x(2*k-1),k>=1且为整数。相邻两点有边连接,x1与x(2*k-1)相连。
由二分图定义可知:x1与x2分别在X集合和Y集合,由于x2与x3的关系可知x3在X集合,则x4在Y集合,以此类推,可得奇数点在X集合,偶数点在Y集合,那么点x(2*k-1)则在X集合中,即与x1同为一个集合,但有之间假设的x1与x(2*k-1)有连边,那么此时就与二分图定义不符,这二分图中的环不可能是奇数环。
综上 :二分图性质 一个图如果是二分图,那么这个图不存在奇环,反之也成立。(二分图中可以存在偶环)
了解了以上的定理对于本题就是很简单的了。
只需要DFS对无向图进行二分染色,如果不满足二分图,即我们找到了顶点v和u染色错误。vu顶点构成的这条路径一定是一个奇环。根据dfs的顺序回溯即可还原这条路径。
代码
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn = 3e5+10;
vector<int> ways[maxn];
int col[maxn],path[maxn],n,m,root;
vector<int> ans;
bool flag;
inline void init() {
memset(col,-1,sizeof(col));
memset(path,-1,sizeof(path));
ans.clear();
flag = true;
for(int i=0;i<maxn;i++) ways[i].clear();
}
inline void addedge(int u,int v) {
ways[u].push_back(v);
ways[v].push_back(u);
}
void dfs(int rt,int c) {
if(!flag) return ;
col[rt] = c;
for(int i=0;i<ways[rt].size();i++) {
if(!flag) return;
if(col[ways[rt][i]] == -1) {
path[ways[rt][i]] = rt;
dfs(ways[rt][i],c^1);
}
else {
if(col[ways[rt][i]] == c) {
path[ways[rt][i]] = rt;
flag = false;
root = ways[rt][i];
return;
}
}
}
}
int main()
{
while(~scanf("%d%d",&n,&m)) {
init();
for(int i=0,u,v;i<m;i++) {
scanf("%d%d",&u,&v);
addedge(u,v);
}
dfs(1,0);
if(flag) {
printf("0\n");
for(int i=1;i<n;i++) printf("%d ",col[i]);printf("%d\n",col[n]);
}
else {
/**
printf("%d\n",root);
for(int i=1;i<=n;i++) printf("%d ",path[i]);printf("\n");
**/
int now = path[root];
ans.push_back(root);
while(root != now) {
ans.push_back(now);
now = path[now];
}
int k = ans.size();
printf("%d\n",k);
for(int i=0;i<k-1;i++) printf("%d ",ans[i]);printf("%d\n",ans[k-1]);
}
}
return 0;
}
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