20ZR暑期联赛班 图论

P1351 联合权值

无向连通图 $G$ 有 $n$ 个点，$n-1$ 条边。点从 $1$ 到 $n$ 依次编号，编号为 $i$ 的点的权值为 $W_{i},$ 每条边的长度均为 $1$。图上两点 $(u, v)$ 的距离定义为 $u$ 点到 $v$ 点的最短距离。对于图 $G$ 上的点对 $(u, v),$ 若它们的距离为 $2$ 则它们之间会产生 $W_{u} \times W_{v}$ 的联合权值。请问图 $G$ 上所有可产生联合权值的有序点对中，联合权值最大的是多少? 所有联合权值之和是多少？$1 \leq n \leq 200000$

枚举点对一定是不行的，有一个直接的思路是枚举 $(u,v)$ 中的一个，再去找另一个，可以通过，但造数据的不知道菊花图这东西。

那么可以树形 dp，这个和枚举中转点是相似的。考虑 $x$ 的儿子 $y_1 \sim y_k$ 能找到那些点对。简单的是 $y_1 \sim y_k$ 与 $x$ 的父亲组合，也可以从 $y_1 \sim y_k$ 中随意选两个。但直接做的话还会倒在菊花图下。

考虑 $k=2$ 时 $y_1 \times y_2 = \frac{{(y_1 + y_2)}^2 - ({y_1}^2+{y_2}^2)}{2}$。推下去发现 $y_1 \sim y_k$ 的两两组合贡献为 $(\sum_{1}^k y_i)^2 - \sum_{1}^k y_i^2$。至此可以通过了。

P1983 车站分级

有 $n$ 个火车站，$m$ 批合法的车次的运行情况。每批车次的运行情况给定了始发站，终点站，途中停靠的车站。请你给每个车站分级，满足要求：如果一趟车停靠的火车站级别为 $x$，那么始发站终点站之间（包括）级别 $\ge x$ 的车站都要停靠。在该条件下，回答火车站至少分成几个级别。

对于给定的 $m$ 批车次，先建一个有向图，边的关系即题中的偏序关系，即为将有车停靠的站点连向所有没有车停靠的站点。如果有一条有向边 $(u,v)$ 那么 $u$ 必须在 $v$ 的前面，这不就是拓扑排序吗？所以一些比较复杂的偏序问题，可以转换到 DAG 上进行拓扑排序 + dp 试一试。

PS，暴力建图复杂度是 $O(n^2m)$ 的，需要信仰。考虑建立一个虚拟的中转点来优化建图，复杂度为 $O(nm)$。

P4643 阿狸和桃子的游戏

$\text{Easy} = \text{NOI}$

有一张 $n$ 个点 $m$ 条边的图，有点权和边权。先手后手轮流染黑白两色，最后的得分是自己染的点权和 $+$ 两端均为自己的颜色的边权和，双方采用最优策略，求先手的分数减去后手的分数。

不要想歪，这不可能是正儿八经的博弈论，这是联赛啊。先提一下，遇到点权和边权同时存在的题，尤其是其中一个的定义有点与众不同时，考虑能不能把点权和边权转化为一个东西，常为边权转点权。

如果一条边的两个端点同色，那么会给这两个点贡献，先让它平分给两个点。如果两个端点异色，那么两个点都没有贡献，发现平分的话抵消了。所以先把边权平分给点权，带个分数可以同时 $\times 2$。

那么将点权拍个序，从大到小交替贪心选即可。女少口啊。

P2680 运输计划

一株 $n$ 个点的树，给你 $m$ 条路径。 你需要选出一条边把边权改成 $0$，让这些路径长度的最大值最小。

二话不说，看到最大值最小先考虑二分。有的边已经满足条件了，不去管。那么要让其余的路径都减小到二分值及其以下，那么改的边要被其余的路径经过。假设有 $k$ 条路径超限制，那么把路径上的每个边的计数器累加，最后计数器为 $k$ 的取个最值。给定的是树，树上差分即可。

卡常差评。

CF1349C Orac and Game of Life

给定第 $0$ 时刻的 $n \times m$ 的 $01$ 矩阵。 每过一个时刻，$01$ 矩阵都会发生如下的变化：对于 $x$ 行第 $y$ 列的格子。若其上下左右四个方向中相邻的格子存在与其数字相同的格子，则此格子的数字在下一个时刻会取反。

有 $t$ 次询问。每次问你在第 $p$ 个时刻第 $x$ 行第 $y$ 列的格子上的数字是什么。

感觉一下，发现不断变化的位置的范围是在扩大的，而且扩大到一定程度就停下了。这样有点抽象，就拿良心的样例三试一试。

0 1 0 1 1
1 0 1 1 0
0 1 1 0 1
1 1 0 1 0
1 0 1 0 1

用 $0$ 表示不会变化，$1$ 表示在不断变化。那么范围随单位时间的扩大如下

0 0 0 1 1
0 0 1 1 0
0 1 1 0 0
1 1 0 0 0
1 0 0 0 0

0 0 1 1 1
0 1 1 1 1
1 1 1 1 0
1 1 1 0 0
1 1 0 0 0

可以大胆猜测，每次 $1$ 都会向四个方向扩展一次。所以一个 bfs 搞定。女少口β可。

CF209C Trails and Glades

给一张图，添加最少的边使得整张图存在一条 $1$ 为起始和结束点的欧拉回路。 $1 \leq n \leq 10^{6}, 0 \leq m \leq 10^{6}$

遇到这类有多个连通块的，往往先考虑连通块内部的贡献，再考虑连通块间的贡献。

从欧拉回路的定义入手，对于一个连通块，将度数为奇数的点两两配对，可能剩下一个。所以先去考虑连通块的连接，优先把度数为奇数的点连起来，那么其余的奇点两两配对。最多剩下一个，这个点要连出两条边。

CF1311E Construct the Binary Tree

给定 $n$ 和 $d$，你需要构造一株 $n$ 个点的二叉树，满足所有点的深度之和恰好为 $d$。

先考虑深度最小的完全二叉树，如果 $d$ 比这个深度小那么直接不可能。否则对深度进行修改，找一个叶子节点到根的链，不断把深度最大的点挂在这条链的下面。还要输出方案，啊这。

P1979 华容道

给定一个 $n \times m$ 的棋盘，只有一个空的位置。剩下的有的是障碍，有的是可移动的棋子。给定一个棋子的初始位置和目标位置，求让这个棋子移动到目标位置至少要移动几次棋子，或者回答不可能。$1 \leq n, m \leq 30,1 \leq q \leq 500$

吐槽，这道题和图论关系不大啊。

数据范围这么小，先想爆搜，但棋子和空格可以一起走很烦。干脆 dp，设 $f_{i,j,x,y}$ 为棋子在 $(i,j)$，空格在 $(x,y)$ 的最少移动次数，枚举空格从哪移动过来的，如果空格与棋子相邻，还可以转移棋子。但是 $O(qm^2n^2)$ 会超时。

考虑空格与棋子相邻才有用，那么设 $f_{i,j,k}$ 为棋子在 $(i,j)$，空格在 $(i,j)$ 的上下左右的最少移动次数。不过这样可能没有初始状态，所以要用 bfs 预处理空格到棋子的上下左右要移动多少次即可。

CF875F Royal Questions

有 $n$ 个王子 $m$ 个公主，每一个公主喜欢其中两个王子，还有一个美丽度。 你需要将王子和公主配对，使得每一个公主都和自己喜欢的王子配对，并且配对的公主美丽度之和最大。

$n,m \leq 200000$

带权二分图匹配板子！哦数据范围 2e5 那没事了。

可以发现有一个公主喜欢两个王子的条件，如果构图的话，每个连通块都是树或基环树。这其实是个模板，但是联赛基础不知道 /xk。先试一试对每个连通块讨论，好像行不通，那就从零开始加边吧。

加边前先按美丽度降序排序，对于边 $(u,v)$，两个端点 $u$ 和 $v$ 可能在一个连通块中也可能不在，可能在树上也可能在基环树上，那分类讨论，要维持一棵基环树的点数一直等于边数。

• 不连通，在两棵树中：加入这条边，得到一棵新的树。
• 不连通，在一棵树和一棵基环树中：加入这条边，得到一棵基环树。
• 不连通，在两棵基环树中：无法加入。
• 连通，在一棵树中：加入这条边，树变成基环树。
• 连通，在一棵基环树中：无法加入。

是不是和生成树有点像？这个模板就叫最大生成基环树，所以用并查集维护，多加一个 bool 数组来表示是不是基环树即可。

BZOJ 2238 Mst

挂一下交题的 Link，黑暗爆炸 OJ。

给定一张图和$q$ 次询问，每次询问你删掉某条边之后最小生成树的大小。询问相互独立。$n \leq 50000, m, q \leq 100000$

在做过删边最短路后 Link，删边最小生成树还是能做的。

先找出一棵最小生成树。

To be continued.

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