判断一个数是否为素数（质数）

定义

质数是指在大于1的自然数中，除了1和它本身以外不再有其他因数的自然数。

实现

直观的方法

int isprime(int x) {
    if (x < 2) return false; // 小于2的数都不是质数
    for (int i = 2; i < x; i++)
        if (x % i == 0) return false;
    return true;
}

显然这个算法的复杂度为\(o(n)\)。

更快的方法

我们知道，一个数如果可以进行因数分解，那么分解时得到的两个数一定是一个小于等于\(sqrt(n)\)，一个大于等于\(sqrt(n)\)。所以，循环没有必要从\(2\)到\(x-1\)，只需要从\(2\)到\(sqrt(n)\)就好了，那么这个算法的时间复杂度就为\(o\left(sqrt(n)\right)\)。

int isprime(int x) {
    if (x < 2) return false; // 小于2的数都不是质数
    for (int i = 2; i <= int(sqrt(x)); i++) // 从2到sqrt(x)
        if (x % i == 0) return false;
    return true;
}

当然，这个算法还可以继续优化，我们可以判断2是不是这个数的约数，然后就可以从\(3\)开始循环到\(sqrt(n)\)了，每次循环\(i+2\)，那么这个算法的复杂度就为\(o(sqrt(n)/2)\)。

int isprime(int x) {
    if (x < 2) return false; // 小于2的数都不是质数
    if (x != 2 && x % 2 == 0) return false; // 不是2且能被2整除的数都不是质数
    for (int i = 3; i <= int(sqrt(x)); i += 2) // 每次循环加2
        if (x % i == 0) return false;
    return true;
}

还有更快的吗？——埃拉托斯特尼筛法

即使是上述的算法，在遇到很大的数字\((n\ge{100,000,000})\)的时候，还是很慢。
那还有没有更快的算法呢？答案是有的，埃拉托斯特尼筛法就是其中之一。

我们可以把从\(2\)到\(maxn\)的数储存为一张表，例如bool prime[maxn];。
然后我们遍历这个数组，把\(i\)的倍数从数组中去掉，这样我们就得到了一张从\(2\)到\(maxn\)的质数的表。
需要判断一个数是否为质数的时候只需要查询这张表就可以了，例如if (prime[i]) // 你的操作。

void getprime(int maxn) {
    for (int i = 0; i <= maxn; i++) prime[i] = 1; // 全部定义为质数 
    prime[0] = prime[1] = 0;
    for (int i = 2; i <= maxn; i++) {
        if (!prime[i]) continue;
        for (int j = i * 2; j <= maxn; j += i) prime[j] = 0; // i的倍数标记为合数 
    }
}

引用

素数的四种判断方法、实现及比较：