1.距估计步骤已知α1=E(X)α2=D(X)+[E(X)]2{ \alpha }_{ 1 }=E(X)\\ { \alpha }_{ 2 }=D(X)+{ [E(X)] }^{ 2 }α1=E(X)α2=D(X)+[E(X)]2A1=X‾A2=1n∑i=1nXi2{ A }_{ 1 }=\overline{X} \\ { A }_{ 2 }=\frac { 1 }{ n } ......
1.距估计步骤
已知
α1=E(X)α2=D(X)+[E(X)]2
A1=XA2=n1∑i=1nXi2
例子:求总体均值μ=E(X)与方差σ2=D(X)的矩估计量
(1)列出总体的前m阶原点矩
α1=E(X)=μ
α2=E(X2)=D(X)+[E(X)]2=σ2+μ2
(2)把需要求的参数用总体距表示出来:
μ=α1
σ2=α2−α12
(3)用样本的各阶原点矩代替总体原点矩
μ^=A1=Xˉσ^2=A2−A12=n1∑i=1nXi2−Xˉ2=S∗2
当给出概率密度函数的时候
总体的均值=[x*(概率密度函数)]的积分
离散型的
总体的均值=(各点值✖️各点概率)相加
2.极大似然估计步骤
离散型
各个实验结果对应的概率相乘即为似然函数
连续型
(1)写出似然函数
L(θ)={∏i=1nf(xi;θ1,θ2,...,θm),连续总体∏i=1nP(Xi=xi;θ1,θ2,...,θm),离散总体
(2)对似然函数取对数
lnL(θ)={∏i=1nlnf(xi;θ1,θ2,...,θm),连续总体∏i=1nlnP(Xi=xi;θ1,θ2,...,θm),离散总体
(3)建立似然方程,对m个θ求偏导
∂θj∂lnL(θ1,θ2,...,θm)=0,j=1,..,m
(4)解出似然方程,求出最大的θ,若不可微分,用其他方法.
鉴定估计的标准
无偏性
样本k阶原点距是总体k阶原点矩的无偏估计吗
E(Ak)=n1∑i=1nXik=E(Xik)=E(Xk)=αk
有效性
比较无偏性后,比较方差,
1.先算出两个估计量的方差
相合性
有效估计的均方误差准则
区间估计公式
(1)μ的区间估计
(Xˉ−nσμ2α,Xˉ+nσμ2α)
σ2未知时μ的区间估计
(Xˉ−nS∗t2α(n−1),Xˉ+nS∗t2α(n−1))
σ2的区间估计
(χ2α2(n−1)(n−1)S∗2,χ1−2α2(n−1)(n−1)S∗2)
(2)μ1−μ2的区间估计
{(Xˉ−Yˉ)∓μ2αn1σ12+n2σ22}
σ12=σ22=σ2但σ2未知
{(Xˉ−Yˉ)∓t2α(n1+n2−2)Swn11+n21}
其中Sw=n1+n2−2(n1−1)S1∗n12+(n2−1)S2∗2n2
σ12和σ22均未知,但n1=n2=n
{Zˉ−nSZ∗t2α(n−1),Zˉ+nSZ∗t2α(n−1)}
其中Zˉ=Xˉ−Yˉ,SZ∗=n−11∑i=1n(Zi−Zˉ)2
σ12/σ22的区间估计
{F1−2α(n2−1,n1−1)S2∗n22S1∗n12,F2α(n2−1,n1−1)S2∗n22S1∗n12}
非正态总体的区间估计
指数分布λ的区间估计
{2nXˉχ1−2α2(2n),2nXˉχ2α2(2n)}
0-1分布的p区间估计
{2a1(b−b2−4ac),2a1(b+b2−4ac)}
单侧区间估计
μ的具有单侧置信区间下限的区间估计
(Xˉ−nS∗tα(n−1),+∞)
μ的具有单侧置信区间上限的区间估计
(−∞,Xˉ+nS∗tα(n−1))
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