python绘制超炫酷动态Julia集示例

前言

此julia非彼julia，指的是对于某复数 c c c，使得迭代式 f ( z ) = z 2 + c f(z)=z^2+c f(z)=z2+c收敛的复数 z z z的集合。例如，当 c = 0 c=0 c=0时，那么其收敛区间为 z 2 < 1 z^2<1 z2<1的单位圆，对应的 c c c的julia集便是 cos ⁡ θ + i sin ⁡ θ \cos\theta+i\sin\theta cosθ+isinθ。

mandelbrot集

特别地，当 c = z c=z c=z的初始值时，符合收敛条件的 z z z的便构成大名鼎鼎的mandelbrot集

在上图中，颜色表示该点的发散速度，可以理解为开始发散时迭代的次数。其生成代码也非常简单，唯一需要注意的是，由于使用了大量的矩阵运算，故使用了cupy，如果电脑没装cuda，只需将所有的cp改为np即可。

# 这些代码会在后面的程序中反复调用，不再说明
import numpy as np
import time
import matplotlib.pyplot as plt
import cupy as cp

#生成z坐标 x0,y0 为起始点， nx,ny为点数， delta为点距
def genz(x0, y0, nx, ny, delta):
    real, img = cp.indices([nx,ny])*delta
    real += x0
    img += y0
    return real.t+img.t*1j

#获取julia集，n为迭代次数，m为判定发散点，大于1即可
def getjulia(z,c,n,m=2):
    t = time.time()
    z,out = z*1, cp.abs(z)
    c = cp.zeros_like(z)+c
    for i in range(n):
        absz = cp.abs(z)
        z[absz>m]=0		#对开始发散的点置零
        c[absz>m]=0		
        out[absz>m]=i	#记录发散点的发散速度
        z = z*z + c
    print("time:",time.time()-t)
    return out

z1 = genz(-2,-1.5,1000,1000,0.003)
mbrot = getjulia(z1,z1,50)
plt.imshow(mbrot.get(), cmap=plt.cm.jet)
plt.show()

如果对其生成过程感兴趣，那么可以观察一下随着迭代次数的增加，图像的变化情况

代码如下。

from matplotlib import animation

fig = plt.figure()
fig.subplots_adjust(top=1, bottom=0, left=0, right=1)
ax = plt.subplot()

def getjulias(z,c,n,m=2):
    z,out = z*1, cp.abs(z)
    c = cp.zeros_like(z)+c
    j = []
    for i in range(n):
        z = z*z + c
        absz = cp.abs(z)
        z[absz>m]=0		#对开始发散的点置零
        c[absz>m]=0		
        out[absz>m]=i	#记录发散点的发散速度
        im = ax.imshow(out.get(),cmap=plt.cm.jet, animated=true)
        ax.set_axis_off()
        j.append([im])
    return j

n = 75     #迭代次数
z1 = genz(-2,-1.5,1000,1000,0.003)
j = getjulias(z1,z1,n)

ani = animation.artistanimation(fig, j, interval=50, blit=true,repeat_delay=1000)
plt.show()
ani.save('julias.gif',writer='imagemagick')

无限缩放

mandelbrot集的分形特征意味着我们所生成的图片可以无限放大，但是受到栅格化尺寸的影响，手动的放大并不会更改其真实尺寸，

为了照顾观感，将缩放中心作为图像的中心，所以对genz函数进行修改。如果选取(-0.75,-0.2)作为缩放中心，则其变化如下

代码为

from matplotlib import animation

# 生成z坐标 xy=np.array([xc,yc]) 为起始点，
# nxy=np.array([nx,ny])为点数， delta为点距
def genzbycenter(xy,nxy,delta):
    x0, y0 = xy-np.array(nxy)*delta/2
    return genz(x0,y0,*nxy,delta)

mbrots = []
xy = [-0.75,-0.2]
nxy = [1000,1000]
delta0 = 0.003  #初始宽度

fig = plt.figure()
fig.subplots_adjust(top=1, bottom=0, left=0, right=1)
ax = plt.subplot()

for n in range(50):
    z1 = genzbycenter(xy,nxy,1.1**(-n)*delta0)
    out = getjulia(z1,z1,40)
    im = ax.imshow(out.get(),cmap=plt.cm.jet, animated=true)
    ax.set_axis_off()
    mbrots.append([im])

ani = animation.artistanimation(fig, mbrots, interval=50, blit=true)
plt.show()
ani.save('zoom.gif',writer='imagemagick')

julia集

如果更改c的值，那么就能得到一个变化着的julia集，例如，下面选取一条直线

y = x y=x y=x

上面的julia集，效果如图所示

代码为

z1 = genz(-2,-1.5,1000,1000,0.003)

fig = plt.figure()
fig.subplots_adjust(top=1, bottom=0, left=0, right=1)
ax = plt.subplot()

mbrots = []
for x in np.arange(0.5,1,0.01):
    c = x + x*1j
    out = getjulia(z1,c,40)
    im = ax.imshow(out.get(),cmap=plt.cm.jet, animated=true)
    ax.set_axis_off()
    mbrots.append([im])

ani = animation.artistanimation(fig, mbrots, interval=50)
plt.show()
ani.save('julia.gif',writer='imagemagick')

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