Python数学建模PuLP库线性规划实际案例编程详解
1、问题描述
某厂生产甲乙两种饮料，每百箱甲饮料需用原料6千克、工人10名，获利10万元；每百箱乙饮料需用原料5千克、工人20名，获利9万元。
今工厂共有原料60千克、工人150名，又由于其他条件所限甲饮料产量不超过8百箱。
（1）问如何安排生产计划，即两种饮料各生产多少使获利最大？
（2）若投资0.8万元可增加原料1千克，是否应作这项投资？投资多少合理？
（3）若每百箱甲饮料获利可增加1万元，是否应否改变生产计划？
（4）若每百箱甲饮料获利可增加1万元，若投资0.8万元可增加原料1千克，是否应作这项投资？投资多少合理？
（5）若不允许散箱（按整百箱生产），如何安排生产计划，即两种饮料各生产多少使获利最大？
2、用pulp 库求解线性规划
2.1 问题 1
（1）数学建模
问题建模：
决策变量：
x1：甲饮料产量（单位：百箱）
x2：乙饮料产量（单位：百箱）
目标函数：
max fx = 10*x1 + 9*x2
约束条件：
6*x1 + 5*x2 <= 60
10*x1 + 20*x2 <= 150
取值范围：
给定条件：x1, x2 >= 0，x1 <= 8
推导条件：由 x1,x2>=0 和 10*x1+20*x2<=150 可知：0<=x1<=15；0<=x2<=7.5
因此，0 <= x1<=8，0 <= x2<=7.5
（2）python 编程
import pulp # 导入 pulp库
problp1 = pulp.lpproblem("problp1", sense=pulp.lpmaximize) # 定义问题 1，求最大值
x1 = pulp.lpvariable('x1', lowbound=0, upbound=8, cat='continuous') # 定义 x1
x2 = pulp.lpvariable('x2', lowbound=0, upbound=7.5, cat='continuous') # 定义 x2
problp1 += (10*x1 + 9*x2) # 设置目标函数 f(x)
problp1 += (6*x1 + 5*x2 <= 60) # 不等式约束
problp1 += (10*x1 + 20*x2 <= 150) # 不等式约束
problp1.solve()
print(problp1.name) # 输出求解状态
print("status:", pulp.lpstatus[problp1.status]) # 输出求解状态
for v in problp1.variables():
print(v.name, "=", v.varvalue) # 输出每个变量的最优值
print("f1(x)=", pulp.value(problp1.objective)) # 输出最优解的目标函数值
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（3）运行结果
problp1 x1=6.4285714 x2=4.2857143 f1(x)=102.8571427
2.2 问题 2
（1）数学建模
问题建模：
决策变量：
x1：甲饮料产量（单位：百箱）
x2：乙饮料产量（单位：百箱）
x3：增加投资（单位：万元）
目标函数：
max fx = 10*x1 + 9*x2 - x3
约束条件：
6*x1 + 5*x2 <= 60 + x3/0.8
10*x1 + 20*x2 <= 150
取值范围：
给定条件：x1, x2 >= 0，x1 <= 8
推导条件：由 x1,x2>=0 和 10*x1+20*x2<=150 可知：0<=x1<=15；0<=x2<=7.5
因此，0 <= x1<=8，0 <= x2<=7.5
（2）python 编程
import pulp # 导入 pulp库
problp2 = pulp.lpproblem("problp2", sense=pulp.lpmaximize) # 定义问题 2，求最大值
x1 = pulp.lpvariable('x1', lowbound=0, upbound=8, cat='continuous') # 定义 x1
x2 = pulp.lpvariable('x2', lowbound=0, upbound=7.5, cat='continuous') # 定义 x2
x3 = pulp.lpvariable('x3', cat='continuous') # 定义 x3
problp2 += (10*x1 + 9*x2 - x3) # 设置目标函数 f(x)
problp2 += (6*x1 + 5*x2 - 1.25*x3 <= 60) # 不等式约束
problp2 += (10*x1 + 20*x2 <= 150) # 不等式约束
problp2.solve()
print(problp2.name) # 输出求解状态
print("status:", pulp.lpstatus[problp2.status]) # 输出求解状态
for v in problp2.variables():
print(v.name, "=", v.varvalue) # 输出每个变量的最优值
print("f2(x)=", pulp.value(problp2.objective)) # 输出最优解的目标函数值
（3）运行结果
problp2 x1=8.0 x2=3.5 x3=4.4 f2(x)=107.1
2.3 问题 3
（1）数学建模
问题建模：
决策变量：
x1：甲饮料产量（单位：百箱）
x2：乙饮料产量（单位：百箱）
目标函数：
max fx = 11*x1 + 9*x2
约束条件：
6*x1 + 5*x2 <= 60
10*x1 + 20*x2 <= 150
取值范围：
给定条件：x1, x2 >= 0，x1 <= 8
推导条件：由 x1,x2>=0 和 10*x1+20*x2<=150 可知：0<=x1<=15；0<=x2<=7.5
因此，0 <= x1<=8，0 <= x2<=7.5
（2）python 编程
import pulp # 导入 pulp库
problp3 = pulp.lpproblem("problp3", sense=pulp.lpmaximize) # 定义问题 3，求最大值
x1 = pulp.lpvariable('x1', lowbound=0, upbound=8, cat='continuous') # 定义 x1
x2 = pulp.lpvariable('x2', lowbound=0, upbound=7.5, cat='continuous') # 定义 x2
problp3 += (11 * x1 + 9 * x2) # 设置目标函数 f(x)
problp3 += (6 * x1 + 5 * x2 <= 60) # 不等式约束
problp3 += (10 * x1 + 20 * x2 <= 150) # 不等式约束
problp3.solve()
print(problp3.name) # 输出求解状态
print("status:", pulp.lpstatus[problp3.status]) # 输出求解状态
for v in problp3.variables():
print(v.name, "=", v.varvalue) # 输出每个变量的最优值
print("f3(x) =", pulp.value(problp3.objective)) # 输出最优解的目标函数值
（3）运行结果
problp3 x1=8.0 x2=2.4 f3(x) = 109.6
2.4 问题 4
（1）数学建模
问题建模：
决策变量：
x1：甲饮料产量（单位：百箱）
x2：乙饮料产量（单位：百箱）
x3：增加投资（单位：万元）
目标函数：
max fx = 11*x1 + 9*x2 - x3
约束条件：
6*x1 + 5*x2 <= 60 + x3/0.8
10*x1 + 20*x2 <= 150
取值范围：
给定条件：x1, x2 >= 0，x1 <= 8
推导条件：由 x1,x2>=0 和 10*x1+20*x2<=150 可知：0<=x1<=15；0<=x2<=7.5
因此，0 <= x1<=8，0 <= x2<=7.5
（2）python 编程
import pulp # 导入 pulp库 problp4 = pulp.lpproblem("problp4", sense=pulp.lpmaximize) # 定义问题 2，求最大值
x1 = pulp.lpvariable('x1', lowbound=0, upbound=8, cat='continuous') # 定义 x1
x2 = pulp.lpvariable('x2', lowbound=0, upbound=7.5, cat='continuous') # 定义 x2
x3 = pulp.lpvariable('x3', cat='continuous') # 定义 x3
problp4 += (11 * x1 + 9 * x2 - x3) # 设置目标函数 f(x)
problp4 += (6 * x1 + 5 * x2 - 1.25 * x3 <= 60) # 不等式约束
problp4 += (10 * x1 + 20 * x2 <= 150) # 不等式约束
problp4.solve()
print(problp4.name) # 输出求解状态
print("status:", pulp.lpstatus[problp4.status]) # 输出求解状态
for v in problp4.variables():
print(v.name, "=", v.varvalue) # 输出每个变量的最优值
print("f4(x) = ", pulp.value(problp4.objective)) # 输出最优解的目标函数值
# = 关注 youcans，分享原创系列 https://blog.csdn.net/youcans =
（3）运行结果
problp4 x1=8.0 x2=3.5 x3=4.4 f4(x) = 115.1
2.5 问题 5：整数规划问题
（1）数学建模
问题建模：
决策变量：
x1：甲饮料产量，正整数（单位：百箱）
x2：乙饮料产量，正整数（单位：百箱）
目标函数：
max fx = 10*x1 + 9*x2
约束条件：
6*x1 + 5*x2 <= 60
10*x1 + 20*x2 <= 150
取值范围：
给定条件：x1, x2 >= 0，x1 <= 8，x1, x2 为整数
推导条件：由 x1,x2>=0 和 10*x1+20*x2<=150 可知：0<=x1<=15；0<=x2<=7.5
因此，0 <= x1<=8，0 <= x2<=7
说明：本题中要求饮料车辆为整百箱，即决策变量 x1,x2 为整数，因此是整数规划问题。pulp提供了整数规划的
（2）python 编程
import pulp # 导入 pulp库
problp5 = pulp.lpproblem("problp5", sense=pulp.lpmaximize) # 定义问题 1，求最大值
x1 = pulp.lpvariable('x1', lowbound=0, upbound=8, cat='integer') # 定义 x1，变量类型：整数
x2 = pulp.lpvariable('x2', lowbound=0, upbound=7.5, cat='integer') # 定义 x2，变量类型：整数
problp5 += (10 * x1 + 9 * x2) # 设置目标函数 f(x)
problp5 += (6 * x1 + 5 * x2 <= 60) # 不等式约束
problp5 += (10 * x1 + 20 * x2 <= 150) # 不等式约束
problp5.solve()
print(problp5.name) # 输出求解状态
print("status:", pulp.lpstatus[problp5.status]) # 输出求解状态
for v in problp5.variables():
print(v.name, "=", v.varvalue) # 输出每个变量的最优值
print("f5(x) =", pulp.value(problp5.objective)) # 输出最优解的目标函数值
（3）运行结果
problp5 x1=8.0 x2=2.0 f5(x) = 98.0
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