yzoj 2372 小B的数字 题解

题意

判断是否存在一个序列 $ b_i $ 使得 $ \prod_{i = 1}^{n} b_i  | b_i^{a_i}$ 恒成立，其中 $ b_i $ 中的每个数都是2的正整数次幂。

样例输入

3
2
3 2
3
3 3 3
2
1 10

样例输出

yes
yes
no

数据范围

对于 100% 的数据有 $ n \leq 10^5,a_i \leq 10,t \leq 10$

解析

首先拿到这道题，考场一看就知道不是规律题就是数学公式题，事实上是的。

我们可以设 $ b_i=2^{x_i} $ 其中 $ x_i \(为正整数，\) lcm(a_1,a_2,a_3....a_n)=lcm $ , $ sum=\sum_{i = 0}^{n} x_i $。

那么我们可以将原式子化为 $ 2^{sum} | 2^{x_i * a_i} $,显然要使此式恒成立，就要满足 $ a_i * x_i \geq sum $.

此式子可以转化为 $ lcm* x_i \geq sum* \frac{lcm}{a_i} $

左右两边相加可得

$ lcm* sum \geq sum * ( \sum_{i = 1}^{n} {\frac{lcm}{a_i}} )$

即 $ lcm \geq ( \sum_{i = 1}^{n} {\frac{lcm}{a_i}} )$

两边提出 $ lcm $约去得到 $ 1 \geq ( \sum_{i = 1}^{n} {\frac{1}{a_i}} )$

那么我们可以得出最终公式就是 $ ( \sum_{i = 1}^{n} {\frac{1}{a_i}} \leq 1) $

如果我们直接同分比较，很显然会超数据范围。

对于这一题，由于涉及倒数，会产生浮点误差，我们有三种方法去处理

方法一（不推荐

在最终判断的时候设置精度进行调控

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const double eps=1e-6;
int t,n,k;
bool cheak(double a,double b){
    if(a-b<=eps) return true;
    else return false;
}
int main(){
    scanf("%d",&t);
    while(t--){
        scanf("%d",&n);
        double sum=0;
        for(int i=1;i<=n;++i){
            scanf("%d",&k);
            sum+=1.0/(double)k;
        }
        if(cheak(sum,(double)1)) printf("yes\n");
        else printf("no\n");
    }
    return 0;
}

方法二(正解

我们可以观察数据，可以知道 $ a_i \leq 10 $ 我们最终得到得式子也只与 $ a_i $ 得倒数有关,所以我们可以将式子改造，左右两边乘以 $ 10! $,也就是
$ ( \sum_{i = 1}^{n} {\frac{10!}{a_i}} \leq 10!) $

于是运算便变为了整数运算，便不存在浮点误差了！（常用技巧）

#include <iostream>
#include <cstdlib>
#include <cstdio>
using namespace std; 
typedef long long ll;
int main(){ 
   int t; 
   scanf("%d",&t); 
   while (t--){
       int n; 
       scanf("%d",&n); 
       ll tot=0; 
       for(int i=0;i<n;i++){
           int x;
           scanf("%d",&x); 
           tot+=3628800/x; 
       }
       puts(tot<=3628800 ? "yes" : "no");
   }
   return 0; 
}

方法三(巧妙的暴力

分析式子 $ ( \sum_{i = 1}^{n} {\frac{1}{a_i}} \leq 1) $ 我们可以发现如果 $ n > max(a_i) $ 那么这个式子必然不成立，所以我们可以把n的范围缩小到 $ max(a_i) $ 以内，那么我们通分就不会超出范围了于是便有了一个愉快的暴力

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std; 
int main(){ 
    int t; 
    scanf("%d",&t); 
    while (t--){
        int n;bool flag=1; 
        scanf("%d",&n); 
        long long tot=0;
        long long pop=1; 
        int maxn=0; 
        for(int i=1;i<=n;i++){
            int x;
            scanf("%d",&x); 
            maxn=max(maxn,x);
            if(x==1) flag=0;
            tot+=x;
            pop*=x;
        }
        if(!flag || n>maxn) printf("no\n");
        else puts(tot<=pop ? "yes" : "no");
    }
    return 0; 
}