曼哈顿距离与切比雪夫距离及其相互转化

本文只讨论二维空间中的曼哈顿距离与切比雪夫距离

曼哈顿距离 定义

设平面空间内存在两点，它们的坐标为$(x1,y1)$，$(x2,y2)$

则$dis=|x1-x2|+|y1-y2|$

即两点横纵坐标差之和

煮个栗子

如图所示，图中$A,B$两点的曼哈顿距离为$AC+BC=4+3=7$

 

切比雪夫距离 定义

设平面空间内存在两点，它们的坐标为$(x1,y1)$，$(x2,y2)$

则$dis=max(|x1-x2|,|y1-y2|)$

即两点横纵坐标差的最大值

再煮个栗子

$dis=max(AC,BC)=AC=4$

 

两者之间的关系

两者的定义看上去好像毛线关系都没有，但实际上，这两种距离可以相互转化！

我们考虑最简单的情况，在一个二维坐标系中，设原点为$(0,0)$

如果用曼哈顿距离表示，则与原点距离为$1$的点会构成一个边长为$1$的正方形

 

如果用切比雪夫距离表示，则与原点距离为$1$的点会构成一个边长为$2$的正方形

 

 

仔细对比这两个图形，你会发现什么？

没错！

第二个图像是由第一个图像放大两倍后旋转$45^{\circ}$得到的

然后根据向量矩阵什么乱七八糟的可以得到

第一个图中的点$(x,y)$对应第二个图中的点$(\dfrac{x+y}{2},\dfrac{x-y}{2})$

这样我们就可以将其进行互相转换了