并查集(1)

一、问题引入

原题：杭电hdu1232畅通工程
https://vjudge.net/problem/HDU-1232
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2.故事描述（来源于网络）

并查集由一个整数型的数组和两个函数构成。数组pre[]记录了每个点的前导点是什么，函数find是查找，函数join是合并。

话说江湖上散落着各式各样的大侠，有上千个之多。他们没有什么正当职业，整天背着剑在外面走来走去，碰到和自己不是一路人的，就免不了要打一架。但大侠们有一个优点就是讲义气，绝对不打自己的朋友。而且他们信奉“朋友的朋友就是我的朋友”，只要是能通过朋友关系串联起来的，不管拐了多少个弯，都认为是自己人。这样一来，江湖上就形成了一个一个的群落，通过两两之间的朋友关系串联起来。而不在同一个群落的人，无论如何都无法通过朋友关系连起来，于是就可以放心往死了打。但是两个原本互不相识的人，如何判断是否属于一个朋友圈呢？ 我们可以在每个朋友圈内推举出一个比较有名望的人，作为该圈子的代表人物，这样，每个圈子就可以这样命名“齐达内朋友之队”“罗纳尔多朋友之队”……两人只要互相对一下自己的队长是不是同一个人，就可以确定敌友关系了。 但是还有问题啊，大侠们只知道自己直接的朋友是谁，很多人压根就不认识队长，要判断自己的队长是谁，只能漫无目的的通过朋友的朋友关系问下去：“你是不是队长？你是不是队长？” 这样一来，队长面子上挂不住了，而且效率太低，还有可能陷入无限循环中。于是队长下令，重新组队。队内所有人实行分等级制度，形成树状结构，我队长就是根节点，下面分别是二级队员、三级队员。每个人只要记住自己的上级是谁就行了。遇到判断敌友的时候，只要一层层向上问，直到最高层，就可以在短时间内确定队长是谁了。由于我们关心的只是两个人之间是否连通，至于他们是如何连通的，以及每个圈子内部的结构是怎样的，甚至队长是谁，并不重要。所以我们可以放任队长随意重新组队，只要不搞错敌友关系就好了。于是，门派产生了。下面我们来看并查集的实现。 int pre[1000]; 这个数组，记录了每个大侠的上级是谁。大侠们从1或者0开始编号（依据题意而定），pre[15]=3就表示15号大侠的上级是3号大侠。如果一个人的上级就是他自己，那说明他就是掌门人了，查找到此为止。也有孤家寡人自成一派的，比如欧阳锋，那么他的上级就是他自己。每个人都只认自己的上级。比如胡青牛同学只知道自己的上级是杨左使。张无忌是谁？不认识！要想知道自己的掌门是谁，只能一级级查上去。 find这个函数就是找掌门用的，意义再清楚不过了（路径压缩算法先不论，后面再说）。
再来看看join函数，就是在两个点之间连一条线，这样一来，原先它们所在的两个板块的所有点就都可以互通了。这在图上很好办，画条线就行了。但我们现在是用并查集来描述武林中的状况的，一共只有一个pre[]数组，该如何实现呢？ 还是举江湖的例子，假设现在武林中的形势如图所示。虚竹小和尚与周芷若MM是我非常喜欢的两个人物，他们的终极boss分别是玄慈方丈和灭绝师太，那明显就是两个阵营了。我不希望他们互相打架，就对他俩说：“你们两位拉拉勾，做好朋友吧。”他们看在我的面子上，同意了。这一同意可非同小可，整个少林和峨眉派的人就不能打架了。这么重大的变化，可如何实现呀，要改动多少地方？其实非常简单，我对玄慈方丈说：“大师，麻烦你把你的上级改为灭绝师太吧。这样一来，两派原先的所有人员的终极boss都是师太，那还打个球啊！反正我们关心的只是连通性，门派内部的结构不要紧的。”玄慈一听肯定火大了：“我靠，凭什么是我变成她手下呀，怎么不反过来？我*！”*无效，上天安排的，最大。反正谁加入谁效果是一样的，我就随手指定了一个。这段函数的意思很明白了吧？

再来看看路径压缩算法。建立门派的过程是用join函数两个人两个人地连接起来的，谁当谁的手下完全随机。最后的树状结构会变成什么样，我也完全无法预计，一字长蛇阵也有可能。这样查找的效率就会比较低下。最理想的情况就是所有人的直接上级都是掌门，一共就两级结构，只要找一次就找到掌门了。哪怕不能完全做到，也最好尽量接近。这样就产生了路径压缩算法。 设想这样一个场景：两个互不相识的大侠碰面了，想知道能不能揍。 于是赶紧打电话问自己的上级：“你是不是掌门？” 上级说：“我不是呀，我的上级是谁谁谁，你问问他看看。” 一路问下去，原来两人的最终boss都是东厂曹公公。 “哎呀呀，原来是记己人，西礼西礼，在下三营六组白面葫芦娃!” “幸会幸会，在下九营十八组仙子狗尾巴花！” 两人高高兴兴地手拉手喝酒去了。 “等等等等，两位同学请留步，还有事情没完成呢！”我叫住他俩。 “哦，对了，还要做路径压缩。”两人醒悟。 白面葫芦娃打电话给他的上级六组长：“组长啊，我查过了，其习偶们的掌门是曹公公。不如偶们一起直接拜在曹公公手下吧，省得级别太低，以后查找掌门麻环。” “唔，有道理。” 白面葫芦娃接着打电话给刚才拜访过的三营长……仙子狗尾巴花也做了同样的事情。 这样，查询中所有涉及到的人物都聚集在曹公公的直接领导下。每次查询都做了优化处理，所以整个门派树的层数都会维持在比较低的水平上。路径压缩的代码，看得懂很好，看不懂也没关系，直接抄上用就行了。总之它所实现的功能就是这么个意思。

3.算法描述

O(1)时间复杂度 又短又快

4.上代码

在这里插入代码片#define N 105
int pre[N];     //每个结点
int rank[N];    //树的高度
//初始化
int init(int n)     //对n个结点初始化
{
    for(int i = 0; i < n; i++){
        pre[i] = i;     //每个结点的上级都是自己
        rank[i] = 1;    //每个结点构成的树的高度为1
    }
}
 
int find_pre(int x)     //查找结点x的根结点
{
    if(pre[x] == x){        //递归出口：x的上级为x本身，即x为根结点
        return x;      
    }
    return find_pre(pre[x]);    //递归查找
}
 
//改进查找算法：完成路径压缩，将x的上级直接变为根结点，那么树的高度就会大大降低
int find_pre(int x)     //查找结点x的根结点
{
    if(pre[x] == x){        //递归出口：x的上级为x本身，即x为根结点
        return x;      
    }
    return pre[x] = find_pre(pre[x]);   //递归查找  此代码相当于 先找到根结点rootx，然后pre[x]=rootx
}
 
 
bool is_same(int x, int y)      //判断两个结点是否连通
{
    return find_pre(x) == find_pre(y);  //判断两个结点的根结点（亦称代表元）是否相同
}
 
void unite(int x,int y)
{
    int rootx, rooty;
    rootx = find_pre(x);
    rooty = find_pre(y);
    if(rootx == rooty){
        return ;
    }
    if(rank(rootx) > rank(rooty)){
        pre[rooty] = rootx;         //令y的根结点的上级为rootx
    }
    else{
        if(rank(rootx) == rank(rooty)){
            rank(rooty)++;
        }
        pre[rootx] = rooty;
    }
} 

题解

#include<cstdio>
using namespace std;

int f[10086];

int find(int v) {
	if (f[v] == v)	return v;//如果父节点为自己则返回其本身
	return f[v] = find(f[v]);//函数的递归调用如果不是本身则返回为找到的父节点
}

void unit(int x, int y) {
	//函数实现把两个子集结合
	int t1 = find(x);
	int t2 = find(y);
	if (t1 != t2)	f[t2] = t1;//如果两子集的父节点不同则实现把t2集合的最终老大改为t1
}
int main()
{
	int m, n,x,y;
	while (-scanf("%d",&n),n)
	{
		for (int i = 0; i <= n; i++)	f[i] = i;//让所有的元素认自己为老大
		scanf("%d", &m);
		for (int i = 0; i < m; i++) {
			scanf("%d%d", &x, &y);
			unit(x, y);
		}
		int ans = 0;//该题目的答案
		for (int i = 1; i <= n; i++)	if (i == f[i])	ans++;//如果节点和父节点是本身在联合之后的情况下：证明这个节点是该子集的最高节点并且从该子集引一一条即可使两者联通，减一的思想则是假设有两个元素两者都已连通但是此时ans是1，应该减一因为此时不需要再修路
		printf("%d\n", ans - 1);
	}
	return 0;
}

参考博客：https://www.cnblogs.com/xzxl/p/7226557.html