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基于KL散度、JS散度以及交叉熵的对比

程序员文章站 2022-06-23 09:43:41
在看论文《detecting regions of maximal divergence for spatio-temporal anomaly detection》时,文中提到了这三种方法来比较时间...

在看论文《detecting regions of maximal divergence for spatio-temporal anomaly detection》时,文中提到了这三种方法来比较时间序列中不同区域概率分布的差异。

kl散度、js散度和交叉熵

三者都是用来衡量两个概率分布之间的差异性的指标。不同之处在于它们的数学表达。

对于概率分布p(x)和q(x)

1)kl散度(kullback–leibler divergence)

又称kl距离,相对熵。

基于KL散度、JS散度以及交叉熵的对比

当p(x)和q(x)的相似度越高,kl散度越小。

kl散度主要有两个性质:

(1)不对称性

尽管kl散度从直观上是个度量或距离函数,但它并不是一个真正的度量或者距离,因为它不具有对称性,即d(p||q)!=d(q||p)。

(2)非负性

相对熵的值是非负值,即d(p||q)>0。

2)js散度(jensen-shannon divergence)

js散度也称js距离,是kl散度的一种变形。

基于KL散度、JS散度以及交叉熵的对比

但是不同于kl主要又两方面:

(1)值域范围

js散度的值域范围是[0,1],相同则是0,相反为1。相较于kl,对相似度的判别更确切了。

(2)对称性

即 js(p||q)=js(q||p),从数学表达式中就可以看出。

3)交叉熵(cross entropy)

在神经网络中,交叉熵可以作为损失函数,因为它可以衡量p和q的相似性。

基于KL散度、JS散度以及交叉熵的对比

交叉熵和相对熵的关系:

基于KL散度、JS散度以及交叉熵的对比

以上都是基于离散分布的概率,如果是连续的数据,则需要对数据进行probability density estimate来确定数据的概率分布,就不是求和而是通过求积分的形式进行计算了。

补充:信息熵、交叉熵与kl散度

信息量

在信息论与编码中,信息量,也叫自信息(self-information),是指一个事件所能够带来信息的多少。一般地,这个事件发生的概率越小,其带来的信息量越大。

从编码的角度来看,这个事件发生的概率越大,其编码长度越小,这个事件发生的概率越小,其编码长度就越大。但是编码长度小也是代价的,比如字母'a'用数字‘0'来表示时,为了避免歧义,就不能有其他任何以‘0'开头的编码了。

因此,信息量定义如下:

基于KL散度、JS散度以及交叉熵的对比

信息熵

信息熵是指一个概率分布p的平均信息量,代表着随机变量或系统的不确定性,熵越大,随机变量或系统的不确定性就越大。从编码的角度来看,信息熵是表示一个概率分布p需要的平均编码长度,其可表示为:

基于KL散度、JS散度以及交叉熵的对比

交叉熵

交叉熵是指在给定真实分布q情况下,采用一个猜测的分布p对其进行编码的平均编码长度(或用猜测的分布来编码真实分布得到的信息量)。

交叉熵可以用来衡量真实数据分布于当前分布的相似性,当前分布与真实分布相等时(q=p),交叉熵达到最小值。

其可定义为:

基于KL散度、JS散度以及交叉熵的对比

因此,在很多机器学习算法中都使用交叉熵作为损失函数,交叉熵越小,当前分布与真实分布越接近。此外,相比于均方误差,交叉熵具有以下两个优点:

在lr中,如果用均方误差损失函数,它是一个非凸函数,而使用交叉熵损失函数,它是一个凸函数;

在lr中使用sigmoid激活函数,如果使用均方误差损失函数,在对其求残差时,其表达式与激活函数的导数有关,而sigmoid(如下图所示)的导数在输入值超出[-5,5]范围后将非常小,这会带来梯度消失问题,而使用交叉熵损失函数则能避免这个问题。

基于KL散度、JS散度以及交叉熵的对比

kl散度

kl散度又称相对熵,是衡量两个分布之间的差异性。从编码的角度来看,kl散度可表示为采用猜测分布p得到的平均编码长度与采用真实分布q得到的平均编码长度多出的bit数,其数学表达式可定义为:

基于KL散度、JS散度以及交叉熵的对比

一般地,两个分布越接近,其kl散度越小,最小为0.它具有两个特性:

非负性,即kl散度最小值为0,其详细证明可见[1] ;

非对称性,即dq(p)不等于dp(q) ; kl散度与交叉熵之间的关系

在这里,再次盗用[1]的图来形象地表达这两者之间的关系:

基于KL散度、JS散度以及交叉熵的对比

最上方ch(p)为信息熵,表示分布p的平均编码长度/信息量;

中间的hq(p)表示用分布q表编码分布p所含的信息量或编码长度,简称为交叉熵,其中hq(p)>=h(p)

;最小方的dq(p)表示的是q对p的kl距离,衡量了分布q和分布p之间的差异性,其中dq(p)>=0;

从上图可知,hq(p) = h(p) + dq(p)。

以上为个人经验,希望能给大家一个参考,也希望大家多多支持。