前端学数据结构之图

前面的话

　　本文将详细介绍图这种数据结构，包含不少图的巧妙运用

 

数据结构

　　图是网络结构的抽象模型。图是一组由边连接的节点（或顶点）。图是重要的，因为任何二元关系都可以用图来表示

　　任何社交网络，例如Facebook、Twitter和Google plus，都可以用图来表示。还可以使用图来表示道路、航班以及通信状态，如下图所示：

　　一个图G = (V, E)由以下元素组成

V：一组顶点
E：一组边，连接V中的顶点

　　下图表示一个图：

　　在着手实现算法之前，先了解一下图的一些术语

　　由一条边连接在一起的顶点称为相邻顶点。比如，A和B是相邻的，A和D是相邻的，A和C是相邻的，A和E不是相邻的。

　　一个顶点的度是其相邻顶点的数量。比如，A和其他三个顶点相连接，因此，A的度为3；E和其他两个顶点相连，因此，E的度为2。

　　路径是顶点v1,v2,…,vk的一个连续序列，其中vi和vi+1是相邻的。以上一示意图中的图为例，其中包含路径A B E I和A C D G。

　　简单路径要求不包含重复的顶点。举个例子，ADG是一条简单路径。除去最后一个顶点（因为它和第一个顶点是同一个顶点），环也是一个简单路径，比如ADCA（最后一个顶点重新回到A）

　　如果图中不存在环，则称该图是无环的。如果图中每两个顶点间都存在路径，则该图是连通的

【有向图和无向图】

　　图可以是无向的（边没有方向）或是有向的（有向图）。如下图所示，有向图的边有一个方向：

　　如果图中每两个顶点间在双向上都存在路径，则该图是强连通的。例如，C和D是强连通的，而A和B不是强连通的。

　　图还可以是未加权的（目前为止我们看到的图都是未加权的）或是加权的。如下图所示，加权图的边被赋予了权值：

　　可以使用图来解决计算机科学世界中的很多问题，比如搜索图中的一个特定顶点或搜索一条特定边，寻找图中的一条路径（从一个顶点到另一个顶点），寻找两个顶点之间的最短路径，以及环检测

 

图的表示

　　从数据结构的角度来说，有多种方式来表示图。在所有的表示法中，不存在绝对正确的方式。图的正确表示法取决于待解决的问题和图的类型

【邻接矩阵】

　　图最常见的实现是邻接矩阵。每个节点都和一个整数相关联，该整数将作为数组的索引。我 们用一个二维数组来表示顶点之间的连接。如果索引为i的节点和索引为j的节点相邻，则array[i][j] === 1，否则array[i][j] === 0，如下图所示：

　　不是强连通的图（稀疏图）如果用邻接矩阵来表示，则矩阵中将会有很多0，这意味着我们浪费了计算机存储空间来表示根本不存在的边。例如，找给定顶点的相邻顶点，即使该顶点只有一个相邻顶点，我们也不得不迭代一整行。邻接矩阵表示法不够好的另一个理由是，图中顶点的数量可能会改变，而2维数组不太灵活

【邻接表】

　　也可以使用一种叫作邻接表的动态数据结构来表示图。邻接表由图中每个顶点的相邻顶点列表所组成。存在好几种方式来表示这种数据结构。我们可以用列表（数组）、链表，甚至是散列表或是字典来表示相邻顶点列表。下面的示意图展示了邻接表数据结构

　　尽管邻接表可能对大多数问题来说都是更好的选择，但以上两种表示法都很有用，且它们有着不同的性质（例如，要找出顶点v和w是否相邻，使用邻接矩阵会比较快）

【关联矩阵】

　　还可以用关联矩阵来表示图。在关联矩阵中，矩阵的行表示顶点，列表示边。如下图所示，使用二维数组来表示两者之间的连通性，如果顶点v是边e的入射点，则array[v][e] === 1； 否则，array[v][e] === 0

　　关联矩阵通常用于边的数量比顶点多的情况下，以节省空间和内存

 

创建Graph类

　　声明类的骨架：

function Graph() {
  var vertices = []; //{1}
  var adjList = new Dictionary(); //{2}
}

　　使用一个数组来存储图中所有顶点的名字（行{1}），以及一个字典来存储邻接表（行{2}）。字典将会使用顶点的名字作为键，邻接顶点列表作为值。vertices数组和adjList字典两者都是我们Graph类的私有属性

　　接着，将实现两个方法：一个用来向图中添加一个新的顶点（因为图实例化后是空的），另外一个方法用来添加顶点之间的边

　　先实现addVertex方法：

this.addVertex = function(v){ 
  vertices.push(v); //{3} 
  adjList.set(v, []); //{4}
};

　　这个方法接受顶点v作为参数。将该顶点添加到顶点列表中（行{3}），并且在邻接表中，设置顶点v作为键对应的字典值为一个空数组（行{4}）

　　现在，来实现addEdge方法：

this.addEdge = function(v, w){ 
  adjList.get(v).push(w); //{5}
  adjList.get(w).push(v); //{6}
};

　　这个方法接受两个顶点作为参数。首先，通过将w加入到v的邻接表中，添加了一条自顶点v到顶点w的边。如果想实现一个有向图，则行{5}就足够了。如果是基于无向图的，需要添加一条自w向v的边（行{6}）

　　下面来测试这段代码：

var graph = new Graph();
var myVertices = ['A','B','C','D','E','F','G','H','I']; //{7}
for (var i=0; i<myVertices.length; i++){ //{8} 
  graph.addVertex(myVertices[i]);
}
graph.addEdge('A', 'B'); //{9}
graph.addEdge('A', 'C');
graph.addEdge('A', 'D');
graph.addEdge('C', 'D');
graph.addEdge('C', 'G');
graph.addEdge('D', 'G');
graph.addEdge('D', 'H');
graph.addEdge('B', 'E');
graph.addEdge('B', 'F');
graph.addEdge('E', 'I');

　　为方便起见，创建了一个数组，包含所有想添加到图中的顶点（行{7}）。接下来，只要遍历vertices数组并将其中的值逐一添加到我们的图中（行{8}）。最后，添加想要的边（行{9}）。这段代码将会创建一个图，也就是到前面的示意图所使用的

　　为了更方便一些，下面来实现一下Graph类的toString方法，以便于在控制台输出图

this.toString = function(){ 
  var s = '';
  for (var i=0; i<vertices.length; i++){ //{10} 
    s += vertices[i] + ' -> ';
    var neighbors = adjList.get(vertices[i]); //{11} 
    for (var j=0; j<neighbors.length; j++){ //{12}
      s += neighbors[j] + ' ';
    }
    s += '\n'; //{13}
  }
  return s;
};

　　我们为邻接表表示法构建了一个字符串。首先，迭代vertices数组列表（行{10}），将顶点的名字加入字符串中。接着，取得该顶点的邻接表（行{11}），同样也迭代该邻接表（行{12}），将相邻顶点加入我们的字符串。邻接表迭代完成后，给我们的字符串添加一个换行符（行{13}），这样就可以在控制台看到一个漂亮的输出了。运行如下代码：

console.log(graph.toString());

　　输出如下：

A -> B C D 
B -> A E F 
C -> A D G
D -> A C G H 
E -> B I
F -> B
G -> C D 
H -> D
I -> E

　　从该输出中，顶点A有这几个相邻顶点：B、C和D

 

图的遍历

　　和树数据结构类似，可以访问图的所有节点。有两种算法可以对图进行遍历：广度优先搜索（Breadth-First Search，BFS）和深度优先搜索（Depth-First Search，DFS）。图遍历可以用来寻找特定的顶点或寻找两个顶点之间的路径，检查图是否连通，检查图是否含有环等

　　在实现算法之前，需要理解图遍历的思想方法。图遍历算法的思想是必须追踪每个第一次访问的节点，并且追踪有哪些节点还没有被完全探索。对于两种图遍历算法，都需要明确指出第一个被访问的顶点

　　完全探索一个顶点要求我们查看该顶点的每一条边。对于每一条边所连接的没有被访问过的顶点，将其标注为被发现的，并将其加进待访问顶点列表中

　　为了保证算法的效率，务必访问每个顶点至多两次。连通图中每条边和顶点都会被访问到

　　广度优先搜索算法和深度优先搜索算法基本上是相同的，只有一点不同，那就是待访问顶点列表的数据结构

算法           数据结构    描    述
深度优先搜索    栈         通过将顶点存入栈中，顶点是沿着路径被探索的，存在新的相邻顶点就去访问
广度优先搜索    队列      通过将顶点存入队列中，最先入队列的顶点先被探索

　　当要标注已经访问过的顶点时，用三种颜色来反映它们的状态

白色：表示该顶点还没有被访问。
灰色：表示该顶点被访问过，但并未被探索过。
黑色：表示该顶点被访问过且被完全探索过。

　　这就是之前提到的务必访问每个顶点最多两次的原因

【广度优先搜索】

　　广度优先搜索算法会从指定的第一个顶点开始遍历图，先访问其所有的相邻点，就像一次访问图的一层。换句话说，就是先宽后深地访问顶点，如下图所示：

　　以下是从顶点v开始的广度优先搜索算法所遵循的步骤

　　(1) 创建一个队列Q。
　　(2) 将v标注为被发现的（灰色），并将v入队列Q。
　　(3) 如果Q非空，则运行以下步骤：
　　　　(a) 将u从Q中出队列；
　　　　(b) 将标注u为被发现的（灰色）；
　　　　(c) 将u所有未被访问过的邻点（白色）入队列；
　　　　(d) 将u标注为已被探索的（黑色）

　　下面来实现广度优先搜索算法：

var initializeColor = function(){ 
  var color = [];
  for (var i=0; i<vertices.length; i++){
    color[vertices[i]] = 'white'; //{1}
  }
  return color;
};
this.bfs = function(v, callback){
  var color = initializeColor(), //{2} 
  queue = new Queue();    //{3} 
  queue.enqueue(v);        //{4}
  while (!queue.isEmpty()){    //{5} 
    var u = queue.dequeue(),    //{6}
    neighbors = adjList.get(u); //{7}
    color[u] = 'grey';    // {8} 
    for (var i=0; i<neighbors.length; i++){ // {9}
      var w = neighbors[i];    // {10}
      if (color[w] === 'white'){    // {11}
        color[w] = 'grey';    // {12}
        queue.enqueue(w);    // {13}
      }
    }
    color[u] = 'black'; // {14} 
    if (callback) {    // {15}
      callback(u);
    }
  }
};

　　广度优先搜索和深度优先搜索都需要标注被访问过的顶点。为此，将使用一个辅助数组color。由于当算法开始执行时，所有的顶点颜色都是白色（行{1}），所以可以创建一个辅助函数initializeColor，为这两个算法执行此初始化操作

　　下面来深入广度优先搜索方法的实现。要做的第一件事情是用initializeColor函数来将color数组初始化为white（行{2}）。还需要声明和创建一个Queue实例（行{3}），它将会存储待访问和待探索的顶点。bfs方法接受一个顶点作为算法的起始点。起始顶点是必要的，将此顶点入队列（行{4}）。如果队列非空（行{5}），将通过出队列（行{6}）操作从队列中移除一个顶点，并取得一个包含其所有邻点的邻接表（行{7}）。该顶点将被标注为grey（行{8}），表示发现了它（但还未完成对其的探索）。

　　对于u（行{9}）的每个邻点，取得其值（该顶点的名字——行{10}），如果它还未被访问过（颜色为white——行{11}），则将其标注为已经发现了它（颜色设置为grey——行{12}），并将这个顶点加入队列中（行{13}），这样当其从队列中出列的时候，可以完成对其的探索。当完成探索该顶点 和其相邻顶点后，将该顶点标注为已探索过的（颜色设置为black——行{14}）

　　实现的这个bfs方法也接受一个回调。这个参数是可选的，如果传递了回调函数（行{15}），会用到它。执行下面这段代码来测试一下这个算法：

function printNode(value){ //{16} 
  console.log('Visited vertex: ' + value); //{17}
}
graph.bfs(myVertices[0], printNode); //{18}

　　首先，声明了一个回调函数（行{16}），它仅仅在浏览器控制台上输出已经被完全探索过的顶点的名字。接着，调用bfs方法，给它传递第一个顶点（A——myVertices数组）和回调函数。执行这段代码时，该算法会在浏览器控制台输出下示的结果：

Visited vertex: A 
Visited vertex: B 
Visited vertex: C 
Visited vertex: D 
Visited vertex: E 
Visited vertex: F 
Visited vertex: G 
Visited vertex: H 
Visited vertex: I

　　顶点被访问的顺序和示意图中所展示的一致

　　考虑如何来解决下面这个问题。给定一个图G和源顶点v，找出对每个顶点u，u和v之间最短路径的距离（以边的数量计）。 对于给定顶点v，广度优先算法会访问所有与其距离为1的顶点，接着是距离为2的顶点，以此类推。所以，可以用广度优先算法来解这个问题。可以修改bfs方法以返回给我们一些信息：

从v到u的距离d[u]；
前溯点pred[u]，用来推导出从v到其他每个顶点u的最短路径。

　　下面是改进过的广度优先方法的实现：

this.BFS = function(v){
  var color = initializeColor(), 
      queue = new Queue(),
      d = [],    //{1}
      pred = []; //{2}
      queue.enqueue(v);
  for (var i=0; i<vertices.length; i++){ //{3} 
    d[vertices[i]] = 0;    //{4}
    pred[vertices[i]] = null;    //{5}
  }
  while (!queue.isEmpty()){ 
    var u = queue.dequeue(),
    neighbors = adjList.get(u);
    color[u] = 'grey';
    for (i=0; i<neighbors.length; i++){ 
      var w = neighbors[i];
      if (color[w] === 'white'){
        color[w] = 'grey';
        d[w] = d[u] + 1;    //{6}
        pred[w] = u;    //{7}
        queue.enqueue(w);
      }
    }
  color[u] = 'black';
  }
  return { //{8} 
    distances: d, 
    predecessors: pred
  };
};

　　还需要声明数组d（行{1}）来表示距离，以及pred数组来表示前溯点。下一步则是对图中的每一个顶点，用0来初始化数组d（行{4}），用null来初始化数组pred。发现顶点u的邻点w时，则设置w的前溯点值为u（行{7}）。还通过给d[u]加1来设置v和w之间的距离（u是w的前溯点，d[u]的值已经有了）。方法最后返回了一个包含d和pred的对象（行{8}）

　　现在，可以再次执行BFS方法，并将其返回值存在一个变量中：

var shortestPathA = graph.BFS(myVertices[0]); 
console.log(shortestPathA);

　　对顶点A执行BFS方法，以下将会是输出：

distances: [A: 0, B: 1, C: 1, D: 1, E: 2, F: 2, G: 2, H: 2 , I: 3],
predecessors: [A: null, B: "A", C: "A", D: "A", E: "B", F: "B", G:"C", H: "D", I: "E"]

　　这意味着顶点A与顶点B、C和D的距离为1；与顶点E、F、G和H的距离为2；与顶点I的距离为3。通过前溯点数组，可以用下面这段代码来构建从顶点A到其他顶点的路径：

var fromVertex = myVertices[0]; //{9}
for (var i=1; i<myVertices.length; i++){ //{10} 
  var toVertex = myVertices[i], //{11}
  path = new Stack();    //{12} 
  for (var v=toVertex; v!== fromVertex; v=shortestPathA.predecessors[v]) { //{13} 
    path.push(v);    //{14}
  }
  path.push(fromVertex);    //{15}
  var s = path.pop();    //{16} 
  while (!path.isEmpty()){    //{17}
    s += ' - ' + path.pop(); //{18}
  }
  console.log(s); //{19}
}

　　用顶点A作为源顶点（行{9}）。对于每个其他顶点（除了顶点A——行{10}），会计算顶点A到它的路径。从顶点数组得到toVertex（行{11}），然后会创建一个栈来存储路径值（行{12}）。接着，追溯toVertex到fromVertex的路径{行{13}}。变量v被赋值为其前溯点的值，这样能够反向追溯这条路径。将变量v添加到栈中（行{14}）。最后，源顶点也会被添加到栈中，以得到完整路径。

　　这之后，创建了一个s字符串，并将源顶点赋值给它（它是最后一个加入栈中的，所以它是第一个被弹出的项 ——行{16}）。当栈是非空的，就从栈中移出一个项并将其拼接到字符串s的后面（行{18}）。最后（行{19}）在控制台上输出路径。执行该代码段，会得到如下输出：

A - B
A - C
A - D
A - B - E
A - B - F
A - C - G
A - D - H
A    - B - E - I

　　这里，得到了从顶点A到图中其他顶点的最短路径（衡量标准是边的数量）

　　如果要计算加权图中的最短路径（例如，城市A和城市B之间的最 短路径——GPS和Google Maps中用到的算法），广度优先搜索未必合适。

　　举些例子，Dijkstra’s算法解决了单源最短路径问题。Bellman–Ford算法解决了边权值为负的单源最短路径问题。A*搜索算法解决了求仅一对顶点间的最短路径问题，它用经验法则来加速搜索过程。Floyd–Warshall算法解决了求所有顶点对间的最短路径这一问题。

　　图是一个广泛的主题，对最短路径问题及其变种问题，有很多的解决方案。但在开始学习这些其他解决方案前，需要掌握好图的基本概念

【深度优先搜索】

 　　深度优先搜索算法将会从第一个指定的顶点开始遍历图，沿着路径直到这条路径最后一个顶点被访问了，接着原路回退并探索下一条路径。换句话说，它是先深度后广度地访问顶点，如下图所示：

　　深度优先搜索算法不需要一个源顶点。在深度优先搜索算法中，若图中顶点v未访问，则访问该顶点v。要访问顶点v，照如下步骤做

　　1、标注v为被发现的（灰色）。

　　2、对于v的所有未访问的邻点w，访问顶点w，标注v为已被探索的（黑色）

　　深度优先搜索的步骤是递归的，这意味着深度优先搜索算法使用栈来存储函数调用（由递归调用所创建的栈）

　　下面来实现一下深度优先算法：

this.dfs = function(callback){
  var color = initializeColor(); //{1}
  for (var i=0; i<vertices.length; i++){ //{2} 
    if (color[vertices[i]] === 'white'){ //{3}
      dfsVisit(vertices[i], color, callback); //{4}
    }
  }
};
var dfsVisit = function(u, color, callback){ 
  color[u] = 'grey'; //{5}
  if (callback) {    //{6}
    callback(u);
  }
  var neighbors = adjList.get(u);        //{7} 
  for (var i=0; i<neighbors.length; i++){ //{8} 
    var w = neighbors[i];    //{9}
    if (color[w] === 'white'){    //{10}
      dfsVisit(w, color, callback);    //{11}
    }
  }
  color[u] = 'black'; //{12}
};

　　首先，创建颜色数组（行{1}），并用值white为图中的每个顶点对其做初始化，广度优先搜索也这么做的。接着，对于图实例中每一个未被访问过的顶点（行{2}和{3}），调用私有的递归函数dfsVisit，传递的参数为顶点、颜色数组以及回调函数（行{4}）

　　当访问u顶点时，标注其为被发现的（grey——行{5}）。如果有callback函数的话（行{6}），则执行该函数输出已访问过的顶点。接下来一步是取得包含顶点u所有邻点的列表（行{7}）。对于顶点u的每一个未被访问过（颜色为white——行{10}和行{8}）的邻点w（行{9}）， 将调用dfsVisit函数，传递w和其他参数（行{11}——添加顶点w入栈，这样接下来就能访问它）。最后，在该顶点和邻点按深度访问之后，我们回退，意思是该顶点已被完全探索，并将其标注为black（行{12}）

　　执行下面的代码段来测试一下dfs方法：

graph.dfs(printNode);

　　输出如下：

Visited vertex: A 
Visited vertex: B 
Visited vertex: E 
Visited vertex: I 
Visited vertex: F 
Visited vertex: C
Visited vertex: D 
Visited vertex: G 
Visited vertex: H

　　这个顺序和示意图所展示的一致。下面这个示意图展示了该算法每一步的执行过程：

　　行{4}只会被执行一次，因为所有其他的顶点都有路径到第一个调用dfsVisit函数的顶点（顶点A）。如果顶点B第一个调用函数，则行{4}将会为其他顶点再执行一次（比如顶点A）

　　到目前为止，只是展示了深度优先搜索算法的工作原理。可以用该算法做更多的事情，而不只是输出被访问顶点的顺序

　　对于给定的图G，希望深度优先搜索算法遍历图G的所有节点，构建“森林”（有根树的一个集合）以及一组源顶点（根），并输出两个数组：发现时间和完成探索时间。可以修改dfs方法来返回一些信息：

顶点u的发现时间d[u]；
当顶点u被标注为黑色时，u的完成探索时间f[u]；
顶点u的前溯点p[u]。

　　来看看改进了的DFS方法的实现：

var time = 0; //{1} 
this.DFS = function(){
  var color = initializeColor(), //{2}
      d = [],
      f = [],
      p = [];
      time = 0;
  for (var i=0; i<vertices.length; i++){ //{3}
    f[vertices[i]] = 0;
    d[vertices[i]] = 0; 
    p[vertices[i]] = null;
  }
  for (i=0; i<vertices.length; i++){
    if (color[vertices[i]] === 'white'){ 
      DFSVisit(vertices[i], color, d, f, p);
    }
  }
  return {    //{4} 
    discovery: d, 
    finished: f, 
    predecessors: p
  };
};
var DFSVisit = function(u, color, d, f, p){ 
  console.log('discovered ' + u); 
  color[u] = 'grey';
  d[u] = ++time; //{5}
  var neighbors = adjList.get(u);
  for (var i=0; i<neighbors.length; i++){ 
    var w = neighbors[i];
    if (color[w] === 'white'){
      p[w] = u;    // {6}
      DFSVisit(w,color, d, f, p);
    }
  }
  color[u] = 'black';
  f[u] = ++time;    //{7}
  console.log('explored ' + u);
};

　　需要一个变量来要追踪发现时间和完成探索时间（行{1}）。时间变量不能被作为参数传递，因为非对象的变量不能作为引用传递给其他JavaScript方法（将变量作为引用传递的意思是如果该变量在其他方法内部被修改，新值会在原始变量中反映出来）。接下来，声明数组d、f和p（行{2}）。需要为图的每一个顶点来初始化这些数组（行{3}）。在这个方法结尾处返回这些值（行{4}），之后要用到它们

　　当一个顶点第一次被发现时，追踪其发现时间（行{5}）。当它是由引自顶点u的边而被发现的，追踪它的前溯点（行{6}）。最后，当这个顶点被完全探索后，追踪其完成时间（行{7}）

　　深度优先算法背后的思想是什么？边是从最近发现的顶点u处被向外探索的。只有连接到未发现的顶点的边被探索了。当u所有的边都被探索了，该算法回退到u被发现的地方去探索其他的边。这个过程持续到发现了所有从原始顶点能够触及的顶点。如果还留有任何其他未被发现的顶点，对新源顶点重复这个过程。重复该算法，直到图中所有的顶点都被探索了

　　对于改进过的深度优先搜索，有两点需要注意

　　1、时间（time）变量值的范围只可能在图顶点数量的一倍到两倍之间

　　2、对于所有的顶点u，d[u]<f[u]（意味着，发现时间的值比完成时间的值小，完成时间意思是所有顶点都已经被探索过了）

　　在这两个假设下，有如下的规则：

1≤d[u]<f[u]≤2|V|

　　如果对同一个图再跑一遍新的深度优先搜索方法，对图中每个顶点，会得到如下的发现

　　给定下图，假定每个顶点都是一个需要去执行的任务：

　　这是一个有向图，意味着任务的执行是有顺序的。例如，任务F不能在任务A之前执行。这个图没有环，意味着这是一个无环图。所以，可以说该图是一个有向无环图（DAG）

　　当需要编排一些任务或步骤的执行顺序时，这称为拓扑排序（topologicalsorting，英文亦写作topsort或是toposort）。在日常生活中，这个问题在不同情形下都会出现。例如，开始学习一门计算机科学课程，在学习某些知识之前得按顺序完成一些知识储备（不可以在上算法I前先上算法II）。在开发一个项目时，需要按顺序执行一些步骤，例如，首先得从客户那里得到需求，接着开发客户要求的东西，最后交付项目。不能先交付项目再去收集需求

　　拓扑排序只能应用于DAG。那么，如何使用深度优先搜索来实现拓扑排序呢？在前面的示意图上执行一下深度优先搜索

graph = new Graph();
myVertices = ['A','B','C','D','E','F'];
for(i=0;i<myVertices.length;i++){
  graph.addVertex(myVertices[i]);
}
graph.addEdge('A','C');
graph.addEdge('A','D');
graph.addEdge('B','D');
graph.addEdge('B','E');
graph.addEdge('C','F');
graph.addEdge('F','E');
var result = graph.DFS();

　　这段代码将创建图，添加边，执行改进版本的深度优先搜索算法，并将结果保存到result变量。下图展示了深度优先搜索算法执行后，该图的发现和完成时间

　　现在要做的仅仅是以倒序来排序完成时间数组，这便得出了该图的拓扑排序：

B - A - D - C - F - E

　　注意之前的拓扑排序结果仅是多种可能性之一。如果稍微修改一下算法，就会有不同的结果，比如下面这个结果也是众多其他可能性中的一个：

A - B - C - D - F - E

　　这也是一个可以接受的结果

【完整代码】

　　Graph类的完整代码如下所示

function Graph() {

    var vertices = []; //list

    var adjList = new Dictionary();

    this.addVertex = function(v){
        vertices.push(v);
        adjList.set(v, []); //initialize adjacency list with array as well;
    };

    this.addEdge = function(v, w){
        adjList.get(v).push(w);
        //adjList.get(w).push(v); //commented to run the improved DFS with topological sorting
    };

    this.toString = function(){
        var s = '';
        for (var i=0; i<vertices.length; i++){
            s += vertices[i] + ' -> ';
            var neighbors = adjList.get(vertices[i]);
            for (var j=0; j<neighbors.length; j++){
                s += neighbors[j] + ' ';
            }
            s += '\n';
        }
        return s;
    };

    var initializeColor = function(){
        var color = {};
        for (var i=0; i<vertices.length; i++){
            color[vertices[i]] = 'white';
        }
        return color;
    };

    this.bfs = function(v, callback){

        var color = initializeColor(),
            queue = new Queue();
        queue.enqueue(v);

        while (!queue.isEmpty()){
            var u = queue.dequeue(),
                neighbors = adjList.get(u);
            color[u] = 'grey';
            for (var i=0; i<neighbors.length; i++){
                var w = neighbors[i];
                if (color[w] === 'white'){
                    color[w] = 'grey';
                    queue.enqueue(w);
                }
            }
            color[u] = 'black';
            if (callback) {
                callback(u);
            }
        }
    };

    this.dfs = function(callback){

        var color = initializeColor();

        for (var i=0; i<vertices.length; i++){
            if (color[vertices[i]] === 'white'){
                dfsVisit(vertices[i], color, callback);
            }
        }
    };

    var dfsVisit = function(u, color, callback){

        color[u] = 'grey';
        if (callback) {
            callback(u);
        }
        console.log('Discovered ' + u);
        var neighbors = adjList.get(u);
        for (var i=0; i<neighbors.length; i++){
            var w = neighbors[i];
            if (color[w] === 'white'){
                dfsVisit(w, color, callback);
            }
        }
        color[u] = 'black';
        console.log('explored ' + u);
    };


    this.BFS = function(v){

        var color = initializeColor(),
            queue = new Queue(),
            d = {},
            pred = {};
        queue.enqueue(v);

        for (var i=0; i<vertices.length; i++){
            d[vertices[i]] = 0;
            pred[vertices[i]] = null;
        }

        while (!queue.isEmpty()){
            var u = queue.dequeue(),
                neighbors = adjList.get(u);
            color[u] = 'grey';
            for (i=0; i<neighbors.length; i++){
                var w = neighbors[i];
                if (color[w] === 'white'){
                    color[w] = 'grey';
                    d[w] = d[u] + 1;
                    pred[w] = u;
                    queue.enqueue(w);
                }
            }
            color[u] = 'black';
        }

        return {
            distances: d,
            predecessors: pred
        };
    };

    var time = 0;
    this.DFS = function(){

        var color = initializeColor(),
            d = {},
            f = {},
            p = {};
        time = 0;

        for (var i=0; i<vertices.length; i++){
            f[vertices[i]] = 0;
            d[vertices[i]] = 0;
            p[vertices[i]] = null;
        }

        for (i=0; i<vertices.length; i++){
            if (color[vertices[i]] === 'white'){
                DFSVisit(vertices[i], color, d, f, p);
            }
        }

        return {
            discovery: d,
            finished: f,
            predecessors: p
        };
    };

    var DFSVisit = function(u, color, d, f, p){

        console.log('discovered ' + u);
        color[u] = 'grey';
        d[u] = ++time;
        var neighbors = adjList.get(u);
        for (var i=0; i<neighbors.length; i++){
            var w = neighbors[i];
            if (color[w] === 'white'){
                p[w] = u;
                DFSVisit(w,color, d, f, p);
            }
        }
        color[u] = 'black';
        f[u] = ++time;
        console.log('explored ' + u);
    };
}

 

最短路径算法

　　设想要从街道地图上的A点，通过可能的最短路径到达B点。这种问题在生活中非常常见，会求助于百度地图等应用程序。当然，也有其他的考虑，如时间或路况，但根本的问题仍然是： 从A到B的最短路径是什么？ 

　　可以用图来解决这个问题，相应的算法被称为最短路径。下面将介绍两种非常著名的算法，即Dijkstra算法和Floyd-Warshall算法

【Dijkstra算法】

　　Dijkstra算法是一种计算从单个源到所有其他源的最短路径的贪心算法，这意味着可以用它来计算从图的一个顶点到其余各顶点的最短路径

　　考虑下图：

 

　　下面来看看如何找到顶点A和其余顶点之间的最短路径。但首先，需要声明表示上图的邻接矩阵，如下所示： 

var graph = [[0, 2, 4, 0, 0, 0],              
            [0, 0, 1, 4, 2, 0],              
            [0, 0, 0, 0, 3, 0],              
            [0, 0, 0, 0, 0, 2],              
            [0, 0, 0, 3, 0, 2],              
            [0, 0, 0, 0, 0, 0]]; 

　　现在，通过下面的代码来看看Dijkstra算法是如何工作的： 

this.dijkstra = function(src) {   
  var dist = [], 
      visited = [],     
      length = this.graph.length; 
  for (var i = 0; i < length; i++) { //{1}     
    dist[i] = INF;     
    visited[i] = false;   
  }   
  dist[src] = 0; //{2} 
  for (var i = 0; i < length-1; i++) { //{3}     
    var u = minDistance(dist, visited); //{4} 
    visited[u] = true; //{5} 
    for (var v = 0; v < length; v++) {       
      if (!visited[v] &&  this.graph[u][v] != 0 && dist[u] != INF &&  dist[u] + this.graph[u][v] < dist[v]) { //{6}         dist[v] = dist[u] + this.graph[u][v]; //{7}       
      }     
    }   
  }   
  return dist; //{8} 
}; 

　　下面是对算法过程的描述

　　行{1}：首先，把所有的距离（dist）初始化为无限大（JavaScript最大的数INF = Number. MAX_SAFE_INTEGER），将visited[]初始化为false

　　行{2}：然后，把源顶点到自己的距离设为0

　　行{3}：接下来，要找出到其余顶点的最短路径

　　行{4}：为此，需要从尚未处理的顶点中选出距离最近的顶点

　　行{5}：把选出的顶点标为visited，以免重复计算

　　行{6}：如果找到更短的路径，则更新最短路径的值（行{7}）

　　行{8}：处理完所有顶点后，返回从源顶点（src）到图中其他顶点最短路径的结果

　　要计算顶点间的minDistance，就要搜索dist数组中的最小值，返回它在数组中的索引：

var minDistance = function(dist, visited) { 
  var min = INF, minIndex = -1; 
  for (var v = 0; v < dist.length; v++) { 
    if (visited[v] == false && dist[v] <= min) {
      min = dist[v]; 
      minIndex = v;     
    }   
  }
  return minIndex;
}; 

　　对前面的图执行以上算法，会得到如下输出：

0    0
1    2
2    3
3    6
4    4
5    6

【Floyd-Warshall算法】

　　Floyd-Warshall算法是一种计算图中所有最短路径的动态规划算法。通过该算法，可以找出从所有源到所有顶点的最短路径

　　Floyd-Warshall算法实现如下：

this.floydWarshall = function() {   
  var dist = [],     
      length = this.graph.length,     
      i, j, k; 
  for (i = 0; i < length; i++) { //{1}     
    dist[i] = [];     
    for (j = 0; j < length; j++) {       
      dist[i][j] = this.graph[i][j];    
    }   
  } 
  for (k = 0; k < length; k++) { //{2}     
    for (i = 0; i < length; i++) {       
      for (j = 0; j < length; j++) {         
        if (dist[i][k] + dist[k][j] < dist[i][j]) { //{3}           
          dist[i][j] = dist[i][k] + dist[k][j]; //{4}         
        }       
      }     
    }   
  }   
  return dist; 
};

　　下面是对算法过程的描述

　　行{1}：首先，把dist数组初始化为每个顶点之间的权值，因为i到j可能的最短距离就是这些顶点间的权值

　　行{2}：通过k，得到i途径顶点0至k，到达j的最短路径

　　行{3}：判断i经过顶点k到达j的路径是否比已有的最短路径更短

　　行{4}：如果是更短的路径，则更新最短路径的值

　　行{3}是Floyd-Warshall算法的核心。对前面的图执行以上算法，会得到如下输出：

0   2   3   6   4   6 
INF 0   1   4   2   4 
INF INF 0   6   3   5 
INF INF INF 0   INF 2 
INF INF INF 3   0   2 
INF INF INF INF INF 0 

　　其中，INF代表顶点i到j的最短路径不存在。 对图中每一个顶点执行Dijkstra算法，也可以得到相同的结果

 

最小生成树

　　最小生成树（MST）问题是网络设计中常见的问题。想象一下，公司有几间办公室，要以最低的成本实现办公室电话线路相互连通，以节省资金，最好的办法是什么？这也可以应用于岛桥问题。设想要在n个岛屿之间建造桥梁，想用最低的成本实现所有岛屿相互连通

　　这两个问题都可以用MST算法来解决，其中的办公室或者岛屿可以表示为图中的一个顶点，边代表成本。下面有一个图的例子，其中较粗的边是一个MST的解决方案

　　下面将介绍两种主要的求最小生成树的算法：Prim算法和Kruskal算法

【Prim算法】

　　Prim算法是一种求解加权无向连通图的MST问题的贪心算法。它能找出一个边的子集，使得其构成的树包含图中所有顶点，且边的权值之和最小

　　现在，通过下面的代码来看看Prim算法是如何工作的：

this.prim = function() {
    var parent = [],
        key = [],
        visited = [],
        length = this.graph.length,
        i;

    for (i = 0; i < length; i++){
        key[i] = INF;
        visited[i] = false;
    }

    key[0] = 0;
    parent[0] = -1;

    for (i = 0; i < length-1; i++) {
        var u = minKey(key, visited);
        visited[u] = true;

        for (var v = 0; v < length; v++){
            if (this.graph[u][v] && visited[v] == false && this.graph[u][v] <  key[v]){
                parent[v]  = u;
                key[v] = this.graph[u][v];
            }
        }
    }

    return parent;
};

　　下面是对算法过程的描述

　　行{1}：首先，把所有顶点（key）初始化为无限大（JavaScript最大的数INF = Number.MAX_ SAFE_INTEGER），visited[]初始化为false

　　行{2}：其次，选择第一个key作为第一个顶点，同时，因为第一个顶点总是MST的根节点，所以parent[0] = -1

　　行{3}：然后，对所有顶点求MST

　　行{4}：从未处理的顶点集合中选出key值最小的顶点（与Dijkstra算法中使用的函数一样， 只是名字不同）

　　行{5}：把选出的顶点标为visited，以免重复计算

　　行{6}：如果得到更小的权值，则保存MST路径（parent，行{7}）并更新其权值（行 {8}）

　　行{9}：处理完所有顶点后，返回包含MST的结果

　　比较Prim算法和Dijkstra算法，会发现除了行{7}和行{8}之外，两者非常相似。行{7}用parent数组保存MST的结果。行{8}用key数组保存权值最小的边，而在Dijkstra算法中，用dist数组保存距离。可以修改Dijkstra算法，加入parent数组。这样，就可以在求出距离的同时得到路径

　　对如下的图执行以上算法：

var graph = [[0, 2, 4, 0, 0, 0],              
            [2, 0, 2, 4, 2, 0],              
            [4, 2, 0, 0, 3, 0],              
            [0, 4, 0, 0, 3, 2],              
            [0, 2, 3, 3, 0, 2],              
            [0, 0, 0, 2, 2, 0]]; 

　　会得到如下输出：

Edge    Weight 
0 - 1   2 
1 - 2   2 
5 - 3   2 
1 - 4   2 
4 - 5   2 

【Kruskal算法】

　　和Prim算法类似，Kruskal算法也是一种求加权无向连通图的MST的贪心算法。现在，通过下面的代码来看看Kruskal算法是如何工作的： 

this.kruskal = function(){

    var length = this.graph.length,
        parent = [], cost,
        ne = 0, a, b, u, v, i, j, min;

    cost = initializeCost();

    while(ne<length-1) {

        for(i=0, min = INF;i < length; i++) {
            for(j=0;j < length; j++) {
                if(cost[i][j] < min) {
                    min=cost[i][j];
                    a = u = i;
                    b = v = j;
                }
            }
        }

        u = find(u, parent);
        v = find(v, parent);

        if (union(u, v, parent)){
            ne++;
        }

        cost[a][b] = cost[b][a] = INF;
    }

    return parent;
}

　　下面是对算法过程的描述

　　行{1}：首先，把邻接矩阵的值复制到cost数组，以方便修改且可以保留原始值行{7}

　　行{2}：当MST的边数小于顶点总数减1时

　　行{3}：找出权值最小的边

　　行{4}和行{5}：检查MST中是否已存在这条边，以避免环路

　　行{6}：如果u和v是不同的边，则将其加入MST

　　行{7}：从列表中移除这些边，以免重复计算

　　行{8}：返回MST

　　下面是find函数的定义。它能防止MST出现环路：

var find = function(i, parent){
    while(parent[i]){
        i = parent[i];
    }
    return i;
};

　　union函数的定义如下： 

var union = function(i, j, parent){
    if(i != j) {
        parent[j] = i;
        return true;
    }
    return false;
};

　　这个算法有几种变体。这取决于对边的权值排序时所使用的数据结构（如优先队列），以及图是如何表示的