欢迎您访问程序员文章站本站旨在为大家提供分享程序员计算机编程知识！
您现在的位置是： 首页  >  IT编程

点分治详解

程序员文章站 2022-06-21 23:45:21
点分治详解 一.概念 ​ 是处理树上路径的一个极好的方法。如果你需要大规模的处理一些树上路径的问题时，点分治是一个不错的选择。 二.具体思路 ​ 大多数同学的暴力做法都是对于每一个点对（u，v） 进行dfs来求解。但其实利用分治这一种算法，可以大大减少搜索的时间复杂度。 ​ 对于一个序列上的区间和等 ......

点分治详解

一.概念

​ 是处理树上路径的一个极好的方法。如果你需要大规模的处理一些树上路径的问题时，点分治是一个不错的选择。

二.具体思路

​ 大多数同学的暴力做法都是对于每一个点对（u，v） 进行dfs来求解。但其实利用分治这一种算法，可以大大减少搜索的时间复杂度。

​ 对于一个序列上的区间和等操作，我们可以使用分治来将原问题分解成几个子问题来求解，之后在一一合并答案。而在树上我们也是可以进行这一种操作的。可是树上的每一个子树的节点数是不确定的，不能单单的取中点（你告诉我怎么取），或直接取一号子树。（分治的点的错误选择会导致时间复杂度十分不稳定）。

​ 如下图所示，如果你取了第一个点的话，那么时间复杂度会变\(O(n)\),但如果我们取的点是3的话，那么时间复杂度就会是 \(O(logn)\)

点分治详解

​ 所以，我们要引入一个概念 —— 树的重心

​ 定义：找到一个点,其所有的子树中最大的子树节点数最少,那么这个点就是这棵树的重心,删去重心后，生成的多棵树尽可能平衡

​ 由定义可知，当我们选择树的重心为分支点时，是最优的（我有个绝妙的证明只是这里写不下）

​ 好了，求出了树的重心之后我们就可以来分治了！！

​ 先现给出求重心的代码，便于读者依次理解

void find(int x,int fa)
{
 size[x] = 1; mx[x] = 0;
 for (int i = head[x]; i ; i = edges[i].net)
 {
     edge v = edges[i];
     if(v.to == fa||vis[v.to] ) continue;//vis是之后分治是要用到的
     find(v.to,x);
     size[x] += size[v.to];
     chkmax(mx[x],size[v.to]);
 }
 chkmax(mx[x],S-size[x]);//S为树的大小，记住x的上面要算入的
 if(mx[x] < mx[root])
 {
     root = x;
 }
}

​ 现在开始我们点分治中最重要的部分了 —— 分治

​ 分治不太好讲，我们从代码开始分析

void Divid(int x)
{
   ans+=solve(x,0);
   vis[x] = 1;
   for (int i = head[x];i;i = edges[i].net)
   {
       edge v = edges[i];
       if(vis[v.to]) continue;
       ans-=solve(v.to,edges[i].cost);
       S = size[v.to]; root = 0;
       find(v.to,x);
       Divid(root);
   }
}
  1. ans += solve(x,0); 这一句的作用是将答案加上经过x的路径答案。 而这一个0是为了解决掉一些，有重复计算的结果；（看不懂先假装没有这个0）
  2. ans -= solve（v.to,edges[i].cost); 这一句是将在既经过x这个点，又经过v.to这一个点的路径来去重。因为像这种路径会在solve（x,0)和solve(v.to,0)中都计算一次。而题目是要求路径的长度，所以在容斥时要初始化这条边的长度。所以，现在有没有理解这个0和edges[i].cost?
  3. S = size[v.to]; 现在我们要分治v.to的这一颗子树，So，又将求重心的树的大小改为size[v.to];

到此为止，点分治就在这里讲完了，solve函数是看题目的，有能力的同学可以切一切这两道题（这两道题会在下面进行讲解）。 和.

三.例题分析

​ 1.luogu模板题

​ 题面在上面。

​ 因为题目是要求路径长为k的路径条数，所以solve函数返回的是过x节点的长度为k的路径。

而这路径长度是可以用 \(O(n)\) 的方法求出

// luogu-judger-enable-o2
#include<bits/stdc++.h>
template <class T>
inline void read(T &a)
{
   T s = 0, w = 1;
   char c = getchar();
   while(c < '0' || c > '9')
   {
       if(c == '-') w = -1;
       c = getchar();
   }
   while(c >= '0' && c <= '9')
   {
       s = (s << 1) + (s << 3) + (c ^ 48);
       c = getchar();
   }
   a = s*w;
}
template<class T> void chkmax(T &a, T b) {a > b ? (a = a) : (a = b);}
template<class T> void chkmin(T &a, T b) {a > b ? (a = b) : (a = a);}
template<class T> T min(T a, T b) {return a > b ? b : a;}
template<class T> T max(T a, T b) {return a < b ? b : a;}

int n,m;
int S;
int size[10101];
struct edge{
   int from,to,cost,net;
   edge(int f = 0, int t = 0, int cost = 0, int nex = 0)
   {
       from = f;
       to = t;
       this->cost = cost;
       net = nex;
   }
}edges[1010101];
int tot,head[101001],mx[101011],minn =0x3f3f3f3f,root;
int vis[1010110];
void add(int x, int y, int z)
{
   edges[++tot] = edge(x,y,z,head[x]);
   head[x] = tot;
}
void find(int x,int fa)
{
   size[x] = 1;mx[x] = 0;
   for (int i = head[x];i; i =edges[i].net)
   {
       edge v = edges[i];
       if(v.to == fa || vis[v.to]) continue;
       find(v.to,x);
       size[x] += size[v.to];
       chkmax(mx[x],size[v.to]);
   }
   chkmax(mx[x], S - size[x]);
   if(mx[x] < mx[root])
   {
       root = x;
   }
  
}
int que[1010110],ans[102210101];
int dis[1010101],hhd,a[10101101];
void get_dis(int x, int len, int fa)
{
   dis[++hhd] = a[x];
   for (int i = head[x]; i; i = edges[i].net)
   {
       edge v = edges[i];
       if(vis[v.to]||v.to == fa) continue;
       a[v.to] = len + edges[i].cost;
       get_dis(v.to,len + edges[i].cost,x);
   }
}
void solve(int s, int len, int w)
{
   hhd = 0;
   a[s] = len;
   get_dis(s,len,0);
       for (int i1 = 1; i1 <= hhd; i1++)
           for (int i2 = 1; i2 <= hhd; i2++)
           {
               if(i1 != i2)
               {
                   ans[dis[i1] + dis[i2]] += w;
               }
           }
}
void Divide(int x)
{   
   solve(x,0,1);
   vis[x] = 1;
   for (int i = head[x]; i; i = edges[i].net)
   {
       edge v = edges[i];
       if(vis[v.to]) continue;
       solve(v.to,edges[i].cost,-1);
       S = size[x];root = 0; mx[0] = n;
       find(v.to,x);
       Divide(root);
   }
}
int main()
{
   read(n); read(m);
   for (int i = 1; i < n; i++)
   {
       int x,y,z;
       read(x); read(y); read(z);
       add(x,y,z);
       add(y,x,z);
   }
   S = n;mx[0] = n;root = 0;
// minn = 0x3f3f3f3f;
   find(1,0);    
  // printf("%d\n",mx[root]);
   Devede(root);
   for (int i = 1; i <= m; i++)
   {
       int k;
       read(k);
       printf("%s\n",(ans[k]) ? "AYE" : "NAY");
       //printf("%d\n",ans[k]);
   }
   return 0;
}

​ 2.聪聪可可

​ 这道题是来求长度被3整除的路径条数，但处理方法跟上一条不太一样。

我们可以设p[0],p[1],p[2]为除3余数为0,1,2的 路径条数。显然答案为\(p_0^2\) + \(p_1 * p_2 * 2\)

// luogu-judger-enable-o2
// luogu-judger-enable-o2
// luogu-judger-enable-o2
#include<bits/stdc++.h>
int gcd(int x, int y)
{
    if(y == 0) return x;
    return gcd(y,x%y);
}
template<class T>
inline void read(T &a)
{
    T s = 0,w = 1;
    char c = getchar();
    while(c < '0' || c > '9')
    {
        if(c == '-') w = -1;
        c = getchar();
    }
    while(c >= '0' && c <= '9')
    {
        s = (s << 1) + (s << 3) + (c ^ 48);
        c = getchar();
    }
    a = s*w;
}
template<class T> void chkmax(T &a, T b){a > b? (a = a) : (a = b);}
template<class T> void chkmin(T &a, T b){a > b ? (a = b):(a = a);}
int n;
struct edge{
    int from, to,cost,net;
    edge(int f = 0, int t = 0, int c = 0, int n = 0)
    {
        from = f;
        to = t;
        cost = c;
        net = n;
    }
}edges[2010101];
static int head[20010],tot;
void add(int x, int y, int z)
{
    edges[++tot] = edge(x,y,z,head[x]);
    head[x] = tot;
}
static int vis[20010],size[20010],mx[20010],root,S; 
void find(int x,int fa)
{
    size[x] = 1; mx[x] = 0;
    for (int i = head[x]; i ; i = edges[i].net)
    {
        edge v = edges[i];
        if(v.to == fa||vis[v.to] ) continue;
        find(v.to,x);
        size[x] += size[v.to];
        chkmax(mx[x],size[v.to]);
    }
    chkmax(mx[x],S-size[x]);
    if(mx[x] < mx[root])
    {
        root = x;
    }
}
int dis[20010],a[20010],cnt;
int ans,p[3];
void get_dis(int x, int fa)
{
  //  dis[++cnt] = a[x];
    p[a[x]%3]++;
    for (int i = head[x] ;i; i = edges[i].net)
    {
        edge v = edges[i];
        if(v.to == fa ||vis[v.to] ) continue;
        a[v.to] = a[x]+v.cost;
        get_dis(v.to,x);
    }
}
int  solve(int x, int len)
{
    a[x] = len;
    //cnt = 0;
    p[0] = p[1] = p[2] = 0;
    get_dis(x,0);
    return (p[0]*p[0] + 2 * p[1] * p[2]);
}
void Deved(int x)
{
    ans+=solve(x,0);
    vis[x] = 1;
    for (int i = head[x];i;i = edges[i].net)
    {
        edge v = edges[i];
        if(vis[v.to]) continue;
        ans-=solve(v.to,edges[i].cost);
        S = size[v.to]; root = 0;
        find(v.to,x);
        Deved(root);
    }
}
int main()
{
    //freopen("xx.in","r",stdin);
    //freopen("xx.out","w",stdout);
    read(n);
    for (register int i = 1; i < n; i++)
    {
        int x,y,z;
        read(x); read(y); read(z);
        z%=3;
        add(x,y,z);
        add(y,x,z);
    }
    S = n;root = 0; mx[0] = n+1; 
    find(1,0);
    Deved(root);
    int pp = gcd(ans,n*n);
    printf("%lld/%lld\n",ans/pp,n*n/pp);
   // std::cerr<<std::clock()<<std::endl;
    return 0;
}

上一篇： UITextField及代理方法

下一篇： g++链接gcc编译的库报错“undefined reference to xxx”

推荐阅读