决策树6：分类与回归树CART
0x01 概念介绍
1.1 CART算法
CART算法：Classification And Regression Tree。顾名思义，CART算法既可以用于创建分类树（Classification Tree），也可以用于创建回归树（Regression Tree）、模型树（Model Tree），两者在建树的过程稍有差异。既可以解决分类问题，也可以解决回归问题。根据某一个维度d和某一个阈值v进行二分，得到的决策树是二叉树。
ID3中使用了信息增益选择特征，增益大优先选择。C4.5中，采用信息增益比选择特征，减少因特征值多导致信息增益大的问题。CART分类树算法使用基尼系数来代替信息增益比，基尼系数代表了模型的不纯度，基尼系数越小，不纯度越低，特征越好。这和信息增益（比）相反。
1.2 回顾基尼系数
回顾一下之前学习的关于基尼系数的知识：
基尼指数（基尼不纯度）= 样本被选中的概率 * 样本被分错的概率 有如下公式：
对上述公式进行说明：
表示选中的样本属于k类别的概率，则这个样本被分错的概率是
因为样本集合中有k个类别，一个随机选中的样本可以属于这k个类别中的任意一个，因而累加所有的k个类别。
当二分类时，
样本集合D的基尼系数：假设集合中有K个类别，每个类别的概率是，其中表示类别k的样本个数，表示样本总数，则：
1.3 基尼系数和熵模型的比较
比较基尼系数和熵模型的表达式，二次运算比对数简单很多。尤其是二分类问题，更加简单。
和熵模型的度量方式比，基尼系数对应的误差有多大呢？对于二类分类，基尼系数和熵之半的曲线如下：
基尼系数和熵之半的曲线非常接近，仅在45度角附近误差稍大。因此，基尼系数可以作为熵模型的一个近似替代。
CART分类树算法每次仅对某个特征的值进行二分，而不是多分，这样CART分类树算法建立起来的是二叉树，而不是多叉树。
0x02 CART作为分类树
CART作为分类树时，特征属性可以是连续类型也可以是离散类型，但观察属性(即标签属性或者分类属性)必须是离散类型。
2.1 对离散特征和连续特征的处理
2.1.1 离散特征
CART分类树算法对离散值的处理，采用的思路：不停的二分离散特征。
在ID3、C4.5，特征A被选取建立决策树节点，如果它有3个类别A1,A2,A3，我们会在决策树上建立一个三叉点，这样决策树是多叉树。
CART采用的是不停的二分。会考虑把特征A分成{A1}和{A2,A3}、{A2}和{A1,A3}、{A3}和{A1,A2}三种情况，找到基尼系数最小的组合。
比如{A2}和{A1,A3}，然后建立二叉树节点，一个节点是A2对应的样本，另一个节点是{A1,A3}对应的样本。**由于这次没有把特征A的取值完全分开，各分支下的子数据集必须依旧包含该特征，该连续特征在接下来的树分支过程中可能依旧起着决定性作用。后面还有机会对子节点继续选择特征A划分A1和A3。这和ID3、C4.5不同，在ID3或C4.5的一颗子树中，离散特征只会参与一次节点的建立。
2.1.2 连续特征
CART分类树算法对连续值的处理，思想和C4.5相同，都是将连续的特征离散化。唯一区别在选择划分点时，C4.5是信息增益比，CART是基尼系数。
具体思路：m个样本的连续特征A有m个，从小到大排列，则CART取相邻两样本值的平均数做划分点，一共取m-1个，其中第i个划分点Ti表示为：。分别计算以这m-1个点作为二元分类点时的基尼系数。选择基尼系数最小的点为该连续特征的二元离散分类点。比如取到的基尼系数最小的点为，则小于的值为类别1，大于的值为类别2，这样就做到了连续特征的离散化。另外，对于连续属性先进行排序（升序），只有在决策属性（即分类发生了变化）发生改变的地方才需要切开，这可以显著减少运算量。
注意的是，与ID3、C4.5处理离散属性不同的是，如果当前节点为连续属性，则该属性在后面还可以参与子节点的产生选择过程。
2.2 CART分类树算法流程
CART分类树建立算法流程，之所以加上建立，是因为CART分类树算法有剪枝。
算法从根节点开始，用训练集递归建立CART分类树。
输入:训练集D，基尼系数的阈值，样本个数阈值。
输出:决策树T。
1）对于当前节点的数据集为D，如果样本个数小于阈值或没有特征，则返回决策子树，当前节点停止递归。
2）计算样本集D的基尼系数，如果基尼系数小于阈值，则返回决策树子树，当前节点停止递归。
3）计算当前节点现有的各个特征的各个特征值对数据集D的基尼系数。
4）在计算出来的各个特征的各个特征值对数据集D的基尼系数中，选择基尼系数最小的特征A和对应的特征值a。根据这个最优特征和最优特征值，把数据集划分成两部分D1和D2，同时建立当前节点的左右节点，做节点的数据集D为D1，右节点的数据集D为D2。
5）对左右的子节点递归的调用1-4步，生成决策树。
对生成的决策树做预测的时候，假如测试集里的样本A落到了某个叶子节点，而节点里有多个训练样本。则对于A的类别预测采用的是这个叶子节点里概率最大的类别。
0x03 CART作为回归树
3.1 回归问题思路
当数据拥有众多特征并且特征之间关系十分复杂时，构建全局模型的想法就显得太难了，也略显笨拙。而且，实际生活中很多问题都是非线性的，不可能使用全局线性模型来拟合任何数据。一种可行的方法是将数据集切分成很多份易建模的数据，然后利用线性回归技术来建模。如果首次切分后仍然难以拟合线性模型就继续切分。在这种切分方式下，树结构和回归法就相当有用。
回归树的目标是连续数据，树被用来预测目标变量的值是多少。
CART回归树和CART分类树的建立类似，区别在于样本的输出，如果样本输出是离散值，这是分类树；样本输出是连续值，这是回归树。分类树的输出是样本的类别，回归树的输出是一个实数。
并且分类树采用基尼系数的大小度量特征各个划分点的优劣。而回归树采用最小化均方差和进行最优划分特征的选择，对于划分特征A，划分点s两边的数据集D1和D2，求出使D1和D2各自集合的均方差最小，同时D1和D2的均方差之和最小，对应的特征和特征值划分点。。
和方差表达式为：
其中：C1为D1数据集的样本输出均值，C2为D2数据集的样本输出均值。
这很好理解，以预测年龄为例子：被预测出错的人数越多，错的越离谱，均方差就越大，通过最小化均方差能够找到最靠谱的分枝依据。分枝直到每个叶子节点上人的年龄都唯一（这太难了）或者达到预设的终止条件（如叶子个数上限），若最终叶子节点上人的年龄不唯一，则以该节点上所有人的平均年龄做为该叶子节点的预测年龄。
对于决策树建立后做预测的方式，CART分类树采用该叶子节点里概率最大的类别作为当前节点的预测类别。回归树输出不是类别，采用叶子节点的均值或者中位数来预测输出结果。
3.2 CART剪枝
由于决策树算法很容易对训练集过拟合，而导致泛化能力差，为了解决这个问题，我们需要对CART树进行剪枝，来增加决策树的泛化能力。CART采用的办法是后剪枝法。
CART树的剪枝算法可以概括为两步：
从原始决策树生成各种剪枝效果的决策树
用交叉验证来检验剪枝后的预测能力，选择泛化预测能力最好的剪枝后的树作为最终的CART树。
那么按照步骤来进行，我们可以分析如下：
对于位于节点t的任意一颗子树Tt，如果没有剪枝，它的损失函数是 。其中是正则化因子，是子树的结点的个数，为训练数据的预测误差。
如果将其剪掉，仅仅保留根节点，则损失是。
那么如何才能确定剪枝呢？
可以假设当剪枝前和剪枝后的损失函数相同，即T这个树的结点数更少，可以对Tt这个子树进行剪枝，直接将其变为树T。我们可以得到等式如下：
解得：
那么如何选择出最优的CART分类树呢？我们可以采用交叉验证策略，上面我们计算出了每个子树是否剪枝的阈值α，如果我们把所有的节点是否剪枝的值α都计算出来，然后分别针对不同的α所对应的剪枝后的最优子树做交叉验证。这样就可以选择一个最好的α，有了这个α，我们就可以用对应的最优子树作为最终结果。
0x04 代码
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from sklearn import datasets
from sklearn.model_selection import train_test_split
boston = datasets.load_boston()
X = boston.data
y = boston.target
X_train, X_test, y_train, y_test = train_test_split(X, y, random_state=666)
from sklearn.tree import DecisionTreeRegressor
dt_reg = DecisionTreeRegressor()
dt_reg.fit(X_train, y_train)
dt_reg.score(X_test, y_test)
不进行调参，决策树回归器得到的结果，其R方值是很低的。但是对于训练数据来说，R方值是100%，显然过拟合了。
0xFF 总结
本文介绍了CART算法。该算法既可以做分类，又可以做回归。在分类和回归时，其算法流程大致相同，但是其特征划分、输出预测结果等步骤是不同的，大家要多加对比和注意。
本篇文章是决策树系列的最后一篇，通过6篇文章，我相信大家对决策树有了一定的理解。希望大家要多多复习，为以后学习AdaBoost、GBDT等经典算法打下坚实的基础。大家加油！
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