leetcode786.第k个最小的素数分数

1.题目描述

一个已排序好的表 A，其包含 1 和其他一些素数.  当列表中的每一个 p<q 时，我们可以构造一个分数 p/q 。

那么第 k 个最小的分数是多少呢?  以整数数组的形式返回你的答案, 这里 answer[0] = p 且 answer[1] = q.

示例:
输入: A = [1, 2, 3, 5], K = 3
输出: [2, 5]
解释:
已构造好的分数,排序后如下所示:
1/5, 1/3, 2/5, 1/2, 3/5, 2/3.
很明显第三个最小的分数是 2/5.

输入: A = [1, 7], K = 1
输出: [1, 7]
注意:

A 的取值范围在 2 — 2000.
每个 A[i] 的值在 1 —30000.
K 取值范围为 1 —A.length * (A.length - 1) / 2

2.解题思路

• 二分查找：

初始值：mid =（0.0+1.0）／2，

如果小于mid值的分数的个数 < K：去mid右侧查找，left=mid

如果小于mid值的分数的个数 > K：去mid左侧查找，right=mid

如果小于mid值的分数的个数 = K：则位于mid之前的最大的分数即为所求（最接近mid的真分数）

• 那如何表示一个分数并且找到小于mid值得分数的个数呢？

设 0<= j < i < N，则p = A[j]，q = A[i]分别表示分子、分母（题中要求分子p＜分母q）。固定分母q =A[i] ，j越大，此分数的值越大那么就可以利用此规律，快速的找出比mid小的分数有多少个。

• 那如何表示mid之前的最大的分数呢？

设置变量cureps，表示离mid与离mid最近的真分数的差值，差值越小，说明离mid越近，并不断更新 p = A[j-1]，q = A[i]，j代表的是第一个大于mid的 A[j] / A[i]，所以小于等于mid的是前面的一个元素，最后返回 p , q

如果j无法向前移动（j = 0），说明当前分母q =A[i]不合适，任意一个分子都不能是真分数小于mid，则i++

3.代码实现

class Solution(object):
    def kthSmallestPrimeFraction(self, A, K):
        """
        :type A: List[int]
        :type K: int
        :rtype: List[int]
        """
        n = len(A)
        left = 0.0
        right = 1.0
        count = 0
        p = 0
        q = 0
        while left<right:
            mid = (left + right) / 2
            count = 0
            eps = 1.0
            for i in range(1, n):
                j=0
                while j<i:
                    # 除法变乘法，加速
                    if A[j] <= mid*A[i]:
                        count += 1
                    else:
                        #大于的mid不需要往下看了，随着j++，后面只会越来越大
                        break
                    j+=1
                # j代表的是第一个大于mid的A[j]/A[i]，所以小于等于mid的是前面的一个元素
                # 如果j=0，说明以A[i]作分母时，没有分子能够符合条件
                # 求解最接近mid的真分数
                if j > 0:
                    cureps = mid - float(A[j - 1]) / (A[i])
                    if cureps > 0 and cureps < eps:
                        p = j - 1
                        q = i
                        eps = cureps

            if count < K:
                left = mid
            elif count > K:
                right = mid
            else:
                return A[p], A[q]
        return A[p], A[q]

4.运行结果

很奇怪，leetcode有时能通过，有时又不能。