最短路之dijkstra算法

Dijkstra算法

1.定义概览

Dijkstra(迪杰斯特拉)算法是典型的单源最短路径算法，用于计算一个节点到其他所有节点的最短路径。主要特点是以起始点为中心向外层层扩展，直到扩展到终点为止。

问题描述：在无向图 G=(V,E) 中，假设每条边 E[i] 的长度为 w[i]，找到由顶点 V0 到其余各点的最短路径。（单源最短路径）

 

2.算法描述

1)算法思想：设G=(V,E)是一个带权有向图，把图中顶点集合V分成两组，第一组为已求出最短路径的顶点集合（用S表示，初始时S中只有一个源点，以后每求得一条最短路径 , 就将加入到集合S中，直到全部顶点都加入到S中，算法就结束了），第二组为其余未确定最短路径的顶点集合（用U表示），按最短路径长度的递增次序依次把第二组的顶点加入S中。在加入的过程中，总保持从源点v到S中各顶点的最短路径长度不大于从源点v到U中任何顶点的最短路径长度。此外，每个顶点对应一个距离，S中的顶点的距离就是从v到此顶点的最短路径长度，U中的顶点的距离，是从v到此顶点只包括S中的顶点为中间顶点的当前最短路径长度。

 

2)算法步骤：

a.初始时，S只包含源点，即S＝{v}，v的距离为0。U包含除v外的其他顶点，即:U={其余顶点}，若v与U中顶点u有边，则<u,v>正常有权值，若u不是v的出边邻接点，则<u,v>权值为∞。

b.从U中选取一个距离v最小的顶点k，把k，加入S中（该选定的距离就是v到k的最短路径长度）。

c.以k为新考虑的中间点，修改U中各顶点的距离；若从源点v到顶点u的距离（经过顶点k）比原来距离（不经过顶点k）短，则修改顶点u的距离值，修改后的距离值的顶点k的距离加上边上的权。

d.重复步骤b和c直到所有顶点都包含在S中。

 

执行动画过程如下图

 

 

动图太快可以看下面的例子：

  

 

 

 

 

 

重点需要理解这句拗口的”按最短路径长度的递增次序依次把第二组的顶点加入S中。在加入的过程中，总保持从源点v到S中各顶点的最短路径长度不大于从源点v到U中任何顶点的最短路径长度”

 

实际上，Dijkstra 算法是一个排序过程，就上面的例子来说，是根据A到图中其余点的最短路径长度进行排序，路径越短越先被找到，路径越长越靠后才能被找到，要找A到F的最短路径，我们依次找到了 
A –> C 的最短路径 3 
A –> C –> B 的最短路径 5 
A –> C –> D 的最短路径 6 
A –> C –> E 的最短路径 7 
A –> C –> D –> F 的最短路径 9 

 

为什么Dijkstra 算法不适用于带负权的图？ 
就上个例子来说，当把一个点选入集合S时，就意味着已经找到了从A到这个点的最短路径，比如第二步，把C点选入集合S，这时已经找到A到C的最短路径了，但是如果图中存在负权边，就不能再这样说了。举个例子，假设有一个点Z，Z只与A和C有连接，从A到Z的权为50，从Z到C的权为-49，现在A到C的最短路径显然是A –> Z –> C

再举个例子：

 

在这个图中，求从A到C的最短路，如果用Dijkstra根据贪心的思想，选择与A最接近的点C，长度为7，以后不再变化。但是很明显此图最短路为5。归结原因是Dijkstra采用贪心思想，不从整体考虑结果，只从当前情况考虑选择最优。

3.代码模板

#include<stdio.h>
#include<string.h>
#define inf 0x3f3f3f3f
int map[110][110],dis[110],visit[110];
/*
关于三个数组：map数组存的为点边的信息，比如map[1][2]=3，表示1号点和2号点的距离为3
dis数组存的为起始点与每个点的最短距离，比如dis[3]=5，表示起始点与3号点最短距离为5
visit数组存的为0或者1，1表示已经走过这个点。
*/
int n,m;
int dijstra()
{
    int i,j,pos=1,min,sum=0;
    memset(visit,0,sizeof(visit));//初始化为.，表示开始都没走过
    for(i=1; i<=n; ++i)
    {
        dis[i]=map[1][i];
    }
    visit[1]=1;
    dis[1]=0;
    for(i=1; i<n; i++)
    {
        min=inf;
        for(j=1; j<=n; ++j)
        {
            if(visit[j]==0&&min>dis[j])
            {
                min=dis[j];
                pos=j;
            }
        }
        visit[pos]=1;//表示这个点已经走过
        for(j=1; j<=n; ++j)
        {
            if(visit[j]==0&&dis[j]>dis[pos]+map[pos][j])//更新dis的值
                dis[j]=dis[pos]+map[pos][j];
        }
    }
    return dis[n];
}
int main()
{
    int i,j;
    while(~scanf("%d%d",&n,&m),n||m)//n表示n个点，m表示m条边
    {
        for(i=1; i<=n; ++i)
        {
            for(j=1; j<=n; ++j)
            {
                map[i][j]=inf;//开始时将每条边赋为最大值
            }
        }
        int a,b,c;
        for(i=1; i<=m; ++i)
        {
            scanf("%d%d%d",&a,&b,&c);
            if(c<map[a][b])//防止有重边
                map[a][b]=map[b][a]=c;
        }
        int count=dijstra();
        printf("%d\n",count);
    }
    return 0;
}