最小生成树-Prim算法和Kruskal算法
Prim算法
1.概览
普里姆算法(Prim算法),图论中的一种算法,可在加权连通图里搜索最小生成树。意即由此算法搜索到的边子集所构成的树中,不但包括了连通图里的所有顶点(英语:Vertex (graph theory)),且其所有边的权值之和亦为最小。该算法于1930年由捷克数学家沃伊捷赫·亚尔尼克(英语:Vojtěch Jarník)发现;并在1957年由美国计算机科学家罗伯特·普里姆(英语:Robert C. Prim)独立发现;1959年,艾兹格·迪科斯彻再次发现了该算法。因此,在某些场合,普里姆算法又被称为DJP算法、亚尔尼克算法或普里姆-亚尔尼克算法。
2.算法简单描述
1).输入:一个加权连通图,其中顶点集合为V,边集合为E;
2).初始化:Vnew = {x},其中x为集合V中的任一节点(起始点),Enew = {},为空;
3).重复下列操作,直到Vnew = V:
a.在集合E中选取权值最小的边<u, v>,其中u为集合Vnew中的元素,而v不在Vnew集合当中,并且v∈V(如果存在有多条满足前述条件即具有相同权值的边,则可任意选取其中之一);
b.将v加入集合Vnew中,将<u, v>边加入集合Enew中;
4).输出:使用集合Vnew和Enew来描述所得到的最小生成树。
3.下面对算法的图例描述
图例 | 说明 | 不可选 | 可选 | 已选(Vnew) |
---|---|---|---|---|
此为原始的加权连通图。每条边一侧的数字代表其权值。 | - | - | - | |
顶点D被任意选为起始点。顶点A、B、E和F通过单条边与D相连。A是距离D最近的顶点,因此将A及对应边AD以高亮表示。 | C, G | A, B, E, F | D | |
下一个顶点为距离D或A最近的顶点。B距D为9,距A为7,E为15,F为6。因此,F距D或A最近,因此将顶点F与相应边DF以高亮表示。 | C, G | B, E, F | A, D | |
算法继续重复上面的步骤。距离A为7的顶点B被高亮表示。 | C | B, E, G | A, D, F | |
在当前情况下,可以在C、E与G间进行选择。C距B为8,E距B为7,G距F为11。E最近,因此将顶点E与相应边BE高亮表示。 | 无 | C, E, G | A, D, F, B | |
这里,可供选择的顶点只有C和G。C距E为5,G距E为9,故选取C,并与边EC一同高亮表示。 | 无 | C, G | A, D, F, B, E | |
顶点G是唯一剩下的顶点,它距F为11,距E为9,E最近,故高亮表示G及相应边EG。 | 无 | G | A, D, F, B, E, C | |
现在,所有顶点均已被选取,图中绿色部分即为连通图的最小生成树。在此例中,最小生成树的权值之和为39。 | 无 | 无 | A, D, F, B, E, C, G |
4.算法代码实现(未检验)
import java.util.Arrays;
import java.util.*;
public class KruskalMy {
static class Edge implements Comparable<Edge>
{
private int i,j,w;
Edge(int i,int j,int w)
{
this.i=i;
this.j=j;
this.w=w;
}
@Override
public int compareTo(Edge edge) {
if(this.w==edge.w) return 0;
else if(this.w<edge.w) return -1;
else return 1;
}
}
public static void main(String [] args){
int [] V={1,2,3,4,5,6};
Edge [] E=new Edge[10];
E[0]=new Edge(1,2,6);
E[1]=new Edge(1,3,1);
E[2]=new Edge(1,4,5);
E[3]=new Edge(2,3,5);
E[4]=new Edge(2,5,3);
E[5]=new Edge(3,4,5);
E[6]=new Edge(3,5,6);
E[7]=new Edge(3,6,4);
E[8]=new Edge(4,6,2);
E[9]=new Edge(5,6,6);
kruskal(V, E);
}
public static void kruskal(int [] V,Edge [] E)
{
Arrays.sort(E);
int m=V.length;
int n=E.length;
//每个set表示一棵树,list表示森林
ArrayList<HashSet<Integer>> list=new ArrayList<HashSet<Integer>>();
ArrayList<Edge> edges=new ArrayList<Edge>();
//初始化每个点构成一棵树
for(int i=0;i<m;i++)
{
HashSet<Integer> set= new HashSet<Integer>();
set.add(V[i]);
list.add(set);
}
//每个边依次出列
for(int i=0;i<n;i++)
{
Edge edge=E[i];
int a=edge.i;
int b=edge.j;
int counta=-1;
int countb=-1;
//首先要找到边上两点所在的树
for(int j=0;j<list.size();j++){
HashSet<Integer> set=list.get(j);
if(set.contains(a))
{
counta=j;
}
if(set.contains(b))
{
countb=j;
}
}
//没找到点
if(counta==-1||countb==-1)
{
return;
}
else
{
//两点在不同的树
if(counta!=countb)
{
HashSet<Integer> set1=list.get(counta);
HashSet<Integer> set2=list.get(countb);
set1.addAll(set2);
//删除集合的时候要注意。连续删除两个集合
if(counta<countb){
list.remove(counta);
list.remove(countb-1);
}
else
{
list.remove(countb);
list.remove(counta-1);
}
list.add(set1);
edges.add(edge);
System.out.println("将边"+edge.i+"--->"+edge.j+"加入,其权值为"+edge.w);
}
else
{
System.out.println("不能加入"+edge.i+"--->"+edge.j+"两点在同一个树中");
}
}
}
}
}
5.时间复杂度
这里记顶点数v,边数e
邻接矩阵:O(v2) 邻接表:O(elog2v)
Kruskal算法
1.概览
Kruskal算法是一种用来寻找最小生成树的算法,由Joseph Kruskal在1956年发表。用来解决同样问题的还有Prim算法和Boruvka算法等。三种算法都是贪婪算法的应用。和Boruvka算法不同的地方是,Kruskal算法在图中存在相同权值的边时也有效。
2.算法简单描述
1).记Graph中有v个顶点,e个边
2).新建图Graphnew,Graphnew中拥有原图中相同的e个顶点,但没有边
3).将原图Graph中所有e个边按权值从小到大排序
4).循环:从权值最小的边开始遍历每条边 直至图Graph中所有的节点都在同一个连通分量中
if 这条边连接的两个节点于图Graphnew中不在同一个连通分量中
添加这条边到图Graphnew中
3.图例描述:
首先第一步,我们有一张图Graph,有若干点和边 | |
将所有的边的长度排序,用排序的结果作为我们选择边的依据。这里再次体现了贪心算法的思想。资源排序,对局部最优的资源进行选择,排序完成后,我们率先选择了边AD。这样我们的图就变成了右图 | |
在剩下的变中寻找。我们找到了CE。这里边的权重也是5 | |
依次类推我们找到了6,7,7,即DF,AB,BE。 | |
下面继续选择, BC或者EF尽管现在长度为8的边是最小的未选择的边。但是现在他们已经连通了(对于BC可以通过CE,EB来连接,类似的EF可以通过EB,BA,AD,DF来接连)。所以不需要选择他们。类似的BD也已经连通了(这里上图的连通线用红色表示了)。 最后就剩下EG和FG了。当然我们选择了EG。最后成功的图就是右: |
4.代码算法实现
import java.util.Arrays;
import java.util.*;
public class KruskalMy {
static class Edge implements Comparable<Edge>
{
private int i,j,w;
Edge(int i,int j,int w)
{
this.i=i;
this.j=j;
this.w=w;
}
@Override
public int compareTo(Edge edge) {
if(this.w==edge.w) return 0;
else if(this.w<edge.w) return -1;
else return 1;
}
}
public static void main(String [] args){
int [] V={1,2,3,4,5,6};
Edge [] E=new Edge[10];
E[0]=new Edge(1,2,6);
E[1]=new Edge(1,3,1);
E[2]=new Edge(1,4,5);
E[3]=new Edge(2,3,5);
E[4]=new Edge(2,5,3);
E[5]=new Edge(3,4,5);
E[6]=new Edge(3,5,6);
E[7]=new Edge(3,6,4);
E[8]=new Edge(4,6,2);
E[9]=new Edge(5,6,6);
kruskal(V, E);
}
public static void kruskal(int [] V,Edge [] E)
{
Arrays.sort(E);
int m=V.length;
int n=E.length;
//每个set表示一棵树,list表示森林
ArrayList<HashSet<Integer>> list=new ArrayList<HashSet<Integer>>();
ArrayList<Edge> edges=new ArrayList<Edge>();
//初始化每个点构成一棵树
for(int i=0;i<m;i++)
{
HashSet<Integer> set= new HashSet<Integer>();
set.add(V[i]);
list.add(set);
}
//每个边依次出列
for(int i=0;i<n;i++)
{
Edge edge=E[i];
int a=edge.i;
int b=edge.j;
int counta=-1;
int countb=-1;
//首先要找到边上两点所在的树
for(int j=0;j<list.size();j++){
HashSet<Integer> set=list.get(j);
if(set.contains(a))
{
counta=j;
}
if(set.contains(b))
{
countb=j;
}
}
//没找到点
if(counta==-1||countb==-1)
{
return;
}
else
{
//两点在不同的树
if(counta!=countb)
{
HashSet<Integer> set1=list.get(counta);
HashSet<Integer> set2=list.get(countb);
set1.addAll(set2);
//删除集合的时候要注意。连续删除两个集合
if(counta<countb){
list.remove(counta);
list.remove(countb-1);
}
else
{
list.remove(countb);
list.remove(counta-1);
}
list.add(set1);
edges.add(edge);
System.out.println("将边"+edge.i+"--->"+edge.j+"加入,其权值为"+edge.w);
}
else
{
System.out.println("不能加入"+edge.i+"--->"+edge.j+"两点在同一个树中");
}
}
}
}
}
时间复杂度:elog2e e为图中的边数
文章参考自 华山大师兄 tingting256
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图的最小生成树:普利姆算法、克鲁斯卡尔算法