最短路径问题:Dijkstra算法
定义
所谓最短路径问题是指:如果从图中某一顶点(源点)到达另一顶点(终点)的路径可能不止一条,如何找到一条路径使得沿此路径上各边的权值总和(称为路径长度)达到最小。
下面我们介绍两种比较常用的求最短路径算法:
dijkstra(迪杰斯特拉)算法
他的算法思想是按路径长度递增的次序一步一步并入来求取,是贪心算法的一个应用,用来解决单源点到其余顶点的最短路径问题。
算法思想
首先,我们引入一个辅助向量d,它的每个分量d[i]表示当前找到的从起始节点v到终点节点vi的最短路径的长度。它的初始态为:若从节点v到节点vi有弧,则d[i]为弧上的权值,否则d[i]为∞,显然,长度为d[j] = min{d[i] | vi ∈v}的路径就是从v出发最短的一条路径,路径为(v, vi)。
那么,下一条长度次短的最短路径是哪一条呢?假设次短路径的终点是vk,则可想而知,这条路径或者是(v, vk)或者是(v, vj, vk)。它的长度或者是从v到vk的弧上的权值,或者是d[j]和从vj到vk的权值之和。
因此下一条次短的最短路径的长度是:d[j] = min{d[i] | vi ∈ v - s},其中,d[i]或者是弧(v, vi)的权值,或者是dk和弧(vk, vi)上权值之和。
算法描述
假设现要求取如下示例图所示的顶点v0与其余各顶点的最短路径:
我们使用guava的valuegraph作为该图的数据结构,每个顶点对应一个visited变量来表示节点是在v中还是在s中,初始时s中只有顶点v0。然后,我们看看新加入的顶点是否可以到达其他顶点,并且看看通过该顶点到达其他点的路径长度是否比从v0直接到达更短,如果是,则修改这些顶点的权值(即if (d[j] + arcs[j][k] < d[k]) then d[k] = d[j] + arcs[j][k])。然后又从{v - s}中找最小值,重复上述动作,直到所有顶点都并入s中。
第一步,我们通过valuegraphbuilder构造图的实例,并输入边集:
mutablevaluegraph<string, integer> graph = valuegraphbuilder.directed() .nodeorder(elementorder.insertion()) .expectednodecount(10) .build(); graph.putedgevalue(v0, v2, 10); graph.putedgevalue(v0, v4, 30); graph.putedgevalue(v0, v5, 100); graph.putedgevalue(v1, v2, 5); graph.putedgevalue(v2, v3, 50); graph.putedgevalue(v3, v5, 10); graph.putedgevalue(v4, v3, 20); graph.putedgevalue(v4, v5, 60); return graph;
初始输出结果如下:
nodes: [v0, v2, v4, v5, v1, v3], edges: {<v0 -> v5>=100, <v0 -> v4>=30, <v0 -> v2>=10, <v2 -> v3>=50, <v4 -> v5>=60, <v4 -> v3>=20, <v1 -> v2>=5, <v3 -> v5>=10}
为了不破坏graph的状态,我们引入一个临时结构来记录每个节点运算的中间结果:
private static class nodeextra { public string nodename; //当前的节点名称 public int distance; //开始点到当前节点的最短路径 public boolean visited; //当前节点是否已经求的最短路径(s集合) public string prenode; //前一个节点名称 public string path; //路径的所有途径点 }
第二步,我们首先将起始点v0并入集合s中,因为他的最短路径已知为0:
startnode = v0; nodeextra current = nodeextras.get(startnode); current.distance = 0; //一开始可设置开始节点的最短路径为0 current.visited = true; //并入s集合 current.path = startnode; current.prenode = startnode;
第三步,在当前状态下找出起始点v0开始到其他节点路径最短的节点:
nodeextra minextra = null; //路径最短的节点信息 int min = integer.max_value; for (string notvisitednode : nodes) { //获取节点的辅助信息 nodeextra extra = nodeextras.get(notvisitednode); //不在s集合中,且路径较短 if (!extra.visited && extra.distance < min) { min = extra.distance; minextra = extra; } }
第四步,将最短路径的节点并入集合s中:
if (minextra != null) { //找到了路径最短的节点 minextra.visited = true; //并入集合s中 //更新其中转节点路径 minextra.path = nodeextras.get(minextra.prenode).path + " -> " + minextra.nodename; current = minextra; //标识当前并入的最短路径节点 }
第五步,更新与其相关节点的最短路径中间结果:
/** * 并入新查找到的节点后,更新与其相关节点的最短路径中间结果 * if (d[j] + arcs[j][k] < d[k]) d[k] = d[j] + arcs[j][k] */ //只需循环当前节点的后继列表即可(优化) set<string> successors = graph.successors(current.nodename); for (string notvisitednode : successors) { nodeextra extra = nodeextras.get(notvisitednode); if (!extra.visited) { final int value = current.distance + graph.edgevalueordefault(current.nodename, notvisitednode, 0); //d[j] + arcs[j][k] if (value < extra.distance) { //d[j] + arcs[j][k] < d[k] extra.distance = value; extra.prenode = current.nodename; } } }
第六步,输出起始节点v0到每个节点的最短路径以及路径的途径点信息
set<string> keys = nodeextras.keyset(); for (string node : keys) { nodeextra extra = nodeextras.get(node); if (extra.distance < integer.max_value) { log.i(tag, startnode + " -> " + node + ": min: " + extra.distance + ", path: " + extra.path); //path在运算过程中更新 } }
实例图的输出结果为:
v0 -> v0: min: 0, path: v0 v0 -> v2: min: 10, path: v0 -> v2 v0 -> v3: min: 50, path: v0 -> v4 -> v3 v0 -> v4: min: 30, path: v0 -> v4 v0 -> v5: min: 60, path: v0 -> v4 -> v3 -> v5
具体dijkstra算法的示例demo实现,请参考:
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