图文详解Heap Sort堆排序算法及JavaScript的代码实现

1. 不得不说说二叉树
要了解堆首先得了解一下二叉树，在计算机科学中，二叉树是每个节点最多有两个子树的树结构。通常子树被称作“左子树”（left subtree）和“右子树”（right subtree）。二叉树常被用于实现二叉查找树和二叉堆。
二叉树的每个结点至多只有二棵子树（不存在度大于 2 的结点），二叉树的子树有左右之分，次序不能颠倒。二叉树的第 i 层至多有 2i - 1 个结点；深度为 k 的二叉树至多有 2k - 1 个结点；对任何一棵二叉树 t，如果其终端结点数为 n0，度为 2 的结点数为 n2，则n0 = n2 + 1。
树和二叉树的三个主要差别：
树的结点个数至少为 1，而二叉树的结点个数可以为 0
树中结点的最大度数没有限制，而二叉树结点的最大度数为 2
树的结点无左、右之分，而二叉树的结点有左、右之分
二叉树又分为完全二叉树（complete binary tree）和满二叉树（full binary tree）
满二叉树：一棵深度为 k，且有 2k - 1 个节点称之为满二叉树

（深度为 3 的满二叉树 full binary tree）
完全二叉树：深度为 k，有 n 个节点的二叉树，当且仅当其每一个节点都与深度为 k 的满二叉树中序号为 1 至 n 的节点对应时，称之为完全二叉树

（深度为 3 的完全二叉树 complete binary tree）
2. 什么是堆？
堆（二叉堆）可以视为一棵完全的二叉树，完全二叉树的一个“优秀”的性质是，除了最底层之外，每一层都是满的，这使得堆可以利用数组来表示（普通的一般的二叉树通常用链表作为基本容器表示），每一个结点对应数组中的一个元素。
如下图，是一个堆和数组的相互关系

（堆和数组的相互关系）
对于给定的某个结点的下标 i，可以很容易的计算出这个结点的父结点、孩子结点的下标：
parent(i) = floor(i/2)，i 的父节点下标
left(i) = 2i，i 的左子节点下标
right(i) = 2i + 1，i 的右子节点下标

二叉堆一般分为两种：最大堆和最小堆。
最大堆：
最大堆中的最大元素值出现在根结点（堆顶）
堆中每个父节点的元素值都大于等于其孩子结点（如果存在）

（最大堆）
最小堆：
最小堆中的最小元素值出现在根结点（堆顶）
堆中每个父节点的元素值都小于等于其孩子结点（如果存在）

（最小堆）
3. 堆排序原理
堆排序就是把最大堆堆顶的最大数取出，将剩余的堆继续调整为最大堆，再次将堆顶的最大数取出，这个过程持续到剩余数只有一个时结束。在堆中定义以下几种操作：
最大堆调整（max-heapify）：将堆的末端子节点作调整，使得子节点永远小于父节点
创建最大堆（build-max-heap）：将堆所有数据重新排序，使其成为最大堆
堆排序（heap-sort）：移除位在第一个数据的根节点，并做最大堆调整的递归运算
继续进行下面的讨论前，需要注意的一个问题是：数组都是 zero-based，这就意味着我们的堆数据结构模型要发生改变

（zero-based）
相应的，几个计算公式也要作出相应调整：
parent(i) = floor((i-1)/2)，i 的父节点下标
left(i) = 2i + 1，i 的左子节点下标
right(i) = 2(i + 1)，i 的右子节点下标
最大堆调整（max‐heapify）的作用是保持最大堆的性质，是创建最大堆的核心子程序，作用过程如图所示：

（max-heapify）
由于一次调整后，堆仍然违反堆性质，所以需要递归的测试，使得整个堆都满足堆性质，用 javascript 可以表示如下：

/**
 * 从 index 开始检查并保持最大堆性质
 *
 * @array
 *
 * @index 检查的起始下标
 *
 * @heapsize 堆大小
 *
 **/
function maxheapify(array, index, heapsize) {
 var imax = index,
   ileft = 2 * index + 1,
   iright = 2 * (index + 1);

 if (ileft < heapsize && array[index] < array[ileft]) {
  imax = ileft;
 }

 if (iright < heapsize && array[imax] < array[iright]) {
  imax = iright;
 }

 if (imax != index) {
  swap(array, imax, index);
  maxheapify(array, imax, heapsize); // 递归调整
 }
}

function swap(array, i, j) {
 var temp = array[i];
 array[i] = array[j];
 array[j] = temp;
}

通常来说，递归主要用在分治法中，而这里并不需要分治。而且递归调用需要压栈/清栈，和迭代相比，性能上有略微的劣势。当然，按照20/80法则，这是可以忽略的。但是如果你觉得用递归会让自己心里过不去的话，也可以用迭代，比如下面这样：

/**
 * 从 index 开始检查并保持最大堆性质
 *
 * @array
 *
 * @index 检查的起始下标
 *
 * @heapsize 堆大小
 *
 **/
function maxheapify(array, index, heapsize) {
 var imax, ileft, iright;
 while (true) {
  imax = index;
  ileft = 2 * index + 1;
  iright = 2 * (index + 1);
  if (ileft < heapsize && array[index] < array[ileft]) {
   imax = ileft;
  }

  if (iright < heapsize && array[imax] < array[iright]) {
   imax = iright;
  }

  if (imax != index) {
   swap(array, imax, index);
   index = imax;
  } else {
   break;
  }
 }
}

function swap(array, i, j) {
 var temp = array[i];
 array[i] = array[j];
 array[j] = temp;
}

创建最大堆（build-max-heap）的作用是将一个数组改造成一个最大堆，接受数组和堆大小两个参数，build-max-heap 将自下而上的调用 max-heapify 来改造数组，建立最大堆。因为 max-heapify 能够保证下标 i 的结点之后结点都满足最大堆的性质，所以自下而上的调用 max-heapify 能够在改造过程中保持这一性质。如果最大堆的数量元素是 n，那么 build-max-heap 从 parent(n) 开始，往上依次调用 max-heapify。流程如下：

用 javascript 描述如下：

function buildmaxheap(array, heapsize) {
 var i,
   iparent = math.floor((heapsize - 1) / 2);
   
 for (i = iparent; i >= 0; i--) {
  maxheapify(array, i, heapsize);
 }
}

堆排序（heap-sort）是堆排序的接口算法，heap-sort先调用build-max-heap将数组改造为最大堆，然后将堆顶和堆底元素交换，之后将底部上升，最后重新调用max-heapify保持最大堆性质。由于堆顶元素必然是堆中最大的元素，所以一次操作之后，堆中存在的最大元素被分离出堆，重复n-1次之后，数组排列完毕。整个流程如下：

用 javascript 描述如下：

function heapsort(array, heapsize) {

 buildmaxheap(array, heapsize);

 for (int i = heapsize - 1; i > 0; i--) {
  swap(array, 0, i);
  maxheapify(array, 0, i);
 } 
}

4.javascript 语言实现
最后，把上面的整理为完整的 javascript 代码如下：

function heapsort(array) {

 function swap(array, i, j) {
  var temp = array[i];
  array[i] = array[j];
  array[j] = temp;
 }

 function maxheapify(array, index, heapsize) {
  var imax,
   ileft,
   iright;
  while (true) {
   imax = index;
   ileft = 2 * index + 1;
   iright = 2 * (index + 1);

   if (ileft < heapsize && array[index] < array[ileft]) {
    imax = ileft;
   }

   if (iright < heapsize && array[imax] < array[iright]) {
    imax = iright;
   }

   if (imax != index) {
    swap(array, imax, index);
    index = imax;
   } else {
    break;
   }
  }
 }

 function buildmaxheap(array) {
  var i,
   iparent = math.floor(array.length / 2) - 1;

  for (i = iparent; i >= 0; i--) {
   maxheapify(array, i, array.length);
  }
 }

 function sort(array) {
  buildmaxheap(array);

  for (var i = array.length - 1; i > 0; i--) {
   swap(array, 0, i);
   maxheapify(array, 0, i);
  }
  return array;
 }

 return sort(array);
}

5.堆排序算法的运用

（1）算法性能/复杂度
堆排序的时间复杂度非常稳定（我们可以看到，对输入数据不敏感），为o(n㏒n)复杂度，最好情况与最坏情况一样。
但是，其空间复杂度依实现不同而不同。上面即讨论了两种常见的复杂度：o(n)与o(1)。本着节约空间的原则，我推荐o(1)复杂度的方法。

（2）算法稳定性
堆排序存在大量的筛选和移动过程，属于不稳定的排序算法。

（3）算法适用场景
堆排序在建立堆和调整堆的过程中会产生比较大的开销，在元素少的时候并不适用。但是，在元素比较多的情况下，还是不错的一个选择。尤其是在解决诸如“前n大的数”一类问题时，几乎是首选算法。