[学习笔记]非线性规划matlab实现——概述与注意

一、概述
具有非线性 约束条件或 目标函数的数学规划，是 运筹学的一个重要分支。非线性规划研究一个 n元实函数在一组等式或不等式的约束条件下的极值问题，且 目标函数和约束条件至少有一个是未知量的非线性函数。目标函数和约束条件都是 线性函数的情形则属于线性规划。
常用求解方法：内点法、序列二次规划法、有效集法、信赖域反射算法。

二、matlab函数fmincon
函数实现：fmincon完成的是局部非线性规划而不是全局非线性规划。
完整形式：[x,fval] = fmincon(@fun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub,@nonlfun,option);
参数说明：
X0:表示给定初始值。
A b：表示线性不等式约束条件。
Aeq beq：表示线性dens规划约束条件。
lb ub ：表示上下界约束。
@fun:表示目标函数。
@nonlfun：表示非线性规划条件。
option：表示求解非线性约束条件的使用方法。
构建参数@fun:
建立新的m文件
function f = fun1(x)
f = -x(1)^2-x(2)2 +x(1)x(2)+2x(1)+5*x(2) ;
end
说明：这里的f实际上就是目标函数，函数的返回值是f。由于非线性目标函数无法用矩阵直接标示，因此方程中都用x(1),x(2）…表示。

构建参数@nonlfun：
与构建参数@fun做法相似，例如：

function [c,ceq] = nonlfun1(x)
   -(x1-1)^2 +x2 >= 0 
   c = [(x(1)-1)^2-x(2)];   % 千万別写成了: (x1-1)^2 -x2
   ceq = [];  % 不存在非线性等式约束，所以用[]表示
end

其中c表示的是非线性不等式约束，ceq表示的是非线性等式约束。

三、有关非线性规划的注意事项：
（1）fmincon完成的是局部非线性规划而不是全局非线性规划。因此函数的初值对函数结果的影响巨大！
改进方法：多取几组初值并且做比较、利用蒙特卡洛法寻找合适的初值。
（2）出现的结果可能极度不合理。
原因是初值设置极度不合理，导致结果不断偏离。
（3）不同的方法结果可能不同，如果不了解算法，根据解的情况选取最优的算法。

蒙特卡洛算法：
原理概述：利用随机数生成大量的满足约束条件的初值，带入函数中，根据函数的结果的优良来判断初始值是否合适。
代码：

clc,clear;
n=10000000; %生成的随机数组数
x1=unifrnd(-100,100,n,1);  % 生成在[-100,100]之间均匀分布的随机数组成的n行1列的向量构成x1
x2=unifrnd(-100,100,n,1);  % 生成在[-100,100]之间均匀分布的随机数组成的n行1列的向量构成x2
fmin=+inf; % 初始化函数f的最小值为正无穷（后续只要找到一个比它小的我们就对其更新）
for i=1:n
    x = [x1(i), x2(i)];  %构造x向量, 这里千万别写成了：x =[x1, x2]
    if ((x(1)-1)^2-x(2)<=0)  & (-2*x1(i)+3*x2(i)-6 <= 0)     % 判断是否满足条件
        result = -x(1)^2-x(2)^2 +x(1)*x(2)+2*x(1)+5*x(2) ;  % 如果满足条件就计算函数值
        if  result  < fmin  % 如果这个函数值小于我们之前计算出来的最小值
            fmin = result;  % 那么就更新这个函数值为新的最小值
            x0 = x;  % 并且将此时的x1 x2更新为初始值
        end
    end
end
disp('蒙特卡罗选取的初始值为：'); disp(x0)

——代码源于 清风讲解