非线性规划

一、非线性规划的 Matlab 解法

X=FMINCON(FUN,X0,A,B,Aeq,Beq,LB,UB,NONLCON,OPTIONS)

Matlab 中非线性规划的数学模型写成以下形式：

                    

                    

其中 f(x) 是标量函数,A,B,Beq Aeq 是相应维数的矩阵和向量，C(x),Ceq(x) 是非

线性向量函数。它的返回值是向量 x ，其中 FUN 是用 M 文件定义的函数 f(x),x0是 x 的

初始值；A,B,Aeq,Beq 定义了线性约束   A*XB,Aeq*X=Beq ， 如果没有线性约束，则

A=[],B=[],Aeq=[],Beq=[]；LB 和 UB 是变量 x 的下界和上界，如果上界和下界没有约束，则

LB=[]，UB=[]，如果 x 无下界，则 LB 的各分量都为-inf，如果 x 无上界，则 UB的各分量都

为 inf；NONLCON 是用 M 文件定义的非线性向量函数  C(x),Ceq(x) ；OPTIONS定义了

优化参数，可以使用 Matlab 缺省的参数设置。

 

       

%fun1.m 定义目标函数
function f=fun1(x);
f=sum(x.^2)+8;

%fun2.m定义非线性约束条件
function [g,h]=fun2(x);
g=[-x(1)^2+x(2)-x(3)^2
x(1)+x(2)^2+x(3)^3-20]; %非线性不等式约束
h=[-x(1)-x(2)^2+2
x(2)+2*x(3)^2-3]; %非线性等式约束

%主程序文件 example2.m 如下：
options=optimset('largescale','off');
[x,y]=fmincon('fun1',rand(3,1),[],[],[],[],zeros(3,1),[], ...
'fun2', options)

二、无约束极值问题的解法

1、最快下降法

• 选取初始数据。选取初始点 ，给定终止误差，令k:=0.
• 求梯度向量。计算,若  停止迭代，输出,否则进行第三步.
• 构造负梯度方向。取

                     

• 进行一维搜索。求  ,使得

                    

         令 ，转第二步

 eg.用最速下降法求解无约束非线性规划问题

       ，其中    ,要求选取初始点  

%detaf.m定义函数f(x)及其梯度列向量
function [f,df]=detaf(x)
f=x(1)^2+25*x(2)^2;
df=[2*x(1)
    50*x(2)];

%最速下降法主函数
clc,clear
x=[2,2];
[f0,g]=detaf(x);
while norm(g)>0.000001  %=norm(g,2)求g的2范数，类似求当前点距离最低点的长度
    p=-g/norm(g);
    t=1.0;
    f=detaf(x+t*p);
    while f>f0 %调整跨度t的大小
        t=t/2;
        f=detaf(x+t*p);
    end
    x=x+t*p; %跨步，更新x，f0
    [f0,g]=detaf(x);
end
x,f0

2、Newton法

• 选取初始数据。选取初始点 ，给定终止误差，令k:=0.
• 求梯度向量。计算,若  停止迭代，输出,否则进行第三步.
• 构造Newton方向。计算  ,取

           

• 求下一迭代点。令  ,转第二步

  2-eg.         ,选取

   解：    

              

%nwfun.m 求f(x)的一阶和二阶偏导
function [f,df,d2f]=nwfun(x);
f=x(1)^4+25*x(2)^4+x(1)^2*x(2)^2;
df=[4*x(1)^3+2*x(1)*x(2)^2;100*x(2)^3+2*x(1)^2*x(2)];
d2f=[2*x(1)^2+2*x(2)^2,4*x(1)*x(2)
4*x(1)*x(2),300*x(2)^2+2*x(1)^2];

%newton.m 牛顿迭代法，优点是收敛速度快；缺点是有时不好用而需采取改进措施
clc,clear
x=[2;2];
[f0,g1,g2]=nwfun(x);
while norm(g1)>0.00001
p=-inv(g2)*g1;p=p/norm(p);
t=1.0;f=nwfun(x+t*p);
while f>f0
t=t/2;f=nwfun(x+t*p);
end
x=x+t*p;
[f0,g1,g2]=nwfun(x);
end
x,f0

三、Matlab 求无约束极值问题

• [X,FVAL]=FMINUNC(FUN,X0,OPTIONS,P1,P2, ...)
• [X,FVAL,EXITFLAG,OUTPUT]＝FMINSEARCH(FUN,X0,OPTIONS,P1,P2,...)

  其中的返回值 X 是所求得的极小点，FVAL 是函数的极小值

四、约束极值问题

 带有约束条件的极值问题称为约束极值问题，也叫规划问题。

 1、若某非线性规划的目标函数为自变量 x 的二次函数，约束条件又全是线性的，就称
   这种规划为二次规划。

   Matlab 中二次规划的数学模型可表述如下：

              

               

   这里 H 是实对称矩阵， b f , 是列向量， A 是相应维数的矩阵。Matlab 中求解二次规划的命令是:

        [X,FVAL]= QUADPROG(H,f,A,b,Aeq,beq,LB,UB,X0,OPTIONS)

        

%二次规划
h=[4,-4;-4,8];
f=[-6;-3];
a=[1,1;4,1];
b=[3;9];
[x,value]=quadprog(h,f,a,b,[],[],zeros(2,1))

2、fminimax 函数

   X=FMINIMAX(FUN,X0,A,B,Aeq,Beq,LB,UB,NONLCON)

   求解