一笔画与哈密尔顿环

若一个图存在一笔画，则一笔画的路径叫做欧拉路
若最后还回到起点，则这个路径为欧拉回路
（奇点： 跟这个点相连的边数目为奇数的点）
定理1：存在欧拉路的条件：图是连通的，有且只有2个奇点。
定理2：存在欧拉回路的条件：图是连通的，0个奇点

用DFS判断即可

#include<cstdio>
#include<vector> 
#include<iostream>
#define MAXN 1005
using namespace std;

int n, m, g[MAXN][MAXN], val[MAXN];
vector <int> circuit;
void dfs(int cur){
    for(int i=1;i<=n;i++)
        if(g[cur][i]) g[cur][i] = 0, g[i][cur] = 0, dfs(i);
    circuit.push_back(cur);
}

int main(){
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for(int i=1;i<=m;i++){
        int u, v;
        scanf("%d%d",&u,&v);
        g[u][v] = 1; g[v][u] = 1;
        val[u]++; val[v]++;
    }
    int start = 1;
    for(int i=1;i<=n;i++)
        if(val[i]%2){
            start = i; break;
        }
    dfs(start);
    for(int i=0;i<circuit.size();i++) printf("%d ",circuit[i]);
    return 0;
}

哈密尔顿环是不重复走过所有的点，还能回到起点的回路。
用简单的DFS求出一张图所有的哈密尔顿环。

#include<cstdio>
#include<iostream>
#define MAXN 1005
using namespace std;
int n, m, x, lenth, g[MAXN][MAXN], num[MAXN], ans[MAXN];
bool val[MAXN], visit[MAXN];
void print(){
    for(int i=1;i<lenth;i++) printf("%d ",ans[i]);
    printf("%d\n",ans[lenth]);
}
void dfs(int last, int cur){
    visit[cur] = true;
    val[cur] = true;
    ans[++lenth] = cur;
    for(int i=1;i<=num[cur];i++){
        if(g[cur][i] == x && g[cur][i]!=last){
            ans[++lenth] = g[cur][i];
            print();
            lenth--;
            break;
        }
        if(!visit[g[cur][i]]) dfs(cur,g[cur][i]);
    }
    lenth--;
    visit[cur] = false;
}

int main(){
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for(int i=1;i<=m;i++){
        int u, v;
        scanf("%d%d",&u,&v);
        g[u][num[u]++] = v; g[v][num[v]++] = u;
    }
    for(x=1;x<=n;x++)
        if(!val[x]) lenth = 0, dfs(0,x);
    return 0;
}