各种排序（一）

• 本文中 \(n\) 代表着待排序序列的长度。
• 算法是否稳定：若 \(a_i = a_j \ , \ i < j\)，排序后若\(i < j\) 则稳定，反之不稳定。（可能有点歧义凑活看）

冒泡排序

又叫气泡排序，起泡排序，泡沫排序
这应该是最简单的排序算法了吧。
在未排好序之前一直扫描序列，每次将最大数的放到序列的最后，所以最多 \(n-1\) 次扫描后序列就排好序了。

最差时间复杂度:\(o(n ^ 2)\)
最优时间复杂度:\(o(n)\)
平均时间复杂度:\(o(n ^ 2)\)
算法是否稳定：是

for(int i=1;i<n;++i) {//n-1轮扫描
    bool okay=true;
    for(int j=1;j<=n-i;++j) {//[n-i+2,n]都已经排好序了。
        if(a[j]>a[j+1]) {
            swap(a[j],a[j+1]);
            okay=false;
        }
    }
    if(okay==true) break;
}

上几张动图，帮助理解。

鸡尾酒排序

冒泡排序的一种优化，在一些特殊情况下有用。
有两种操作：

• 将序列中最大的数放到最后
• 将序列中最小的数放到最前
  在未排好序之前将上面两种操作交替进行。

最差时间复杂度:\(o(n ^ 2)\)
最优时间复杂度:\(o(n)\)
平均时间复杂度:\(o(n ^ 2)\)
算法是否稳定：是

int left=1,right=n;//[left,right]需要排序。
while(left<right) {//最多进行到left=right就停止
    bool okay=true;
    for(int i=left;i<right;++i) {//将序列中最大的数放到最后
        if(a[i]>a[i+1]) {
            swap(a[i],a[i+1]);
            okay=false;
        }
    }
    if(okay==true) break;
    --right;//[right+1,n]已经排好序了
    for(int i=right;i>left;--i) {
        if(a[i]<a[i-1]) {
            swap(a[i],a[i-1]);
            okay=false;
        }
    }
    ++left;//[1,left-1]已经排好序了
    if(okay==true) break;
}

选择排序

在未排好序之前一直扫描序列，每次将最小数的放到序列的最前，所以最多 \(n-1\) 次扫描后序列就排好序了。
与冒泡排序的不同：冒泡排序每扫一次序列会进行多次交换，将不符合顺序的都交换。选择排序每扫一次序列只会进行一次交换，将最小的元素与最前的元素交换。

最差时间复杂度\(o(n ^ 2)\)
最优时间复杂度\(o(n ^ 2)\)
平均时间复杂度\(o(n ^ 2)\)
算法是否稳定：否

for(int i=1;i<n;++i) {//最多扫n-1次
    bool okay=true;
    int minn=0x7fffffff,flag;
    for(int j=i;j<=n;++j) {
        if(a[j]<minn) {
            minn=a[j];flag=j;//找最小的并记录下位置。
            okay=false;
        }
    }
    if(okay==true) break;
    std::swap(a[i],a[flag]);//将最小的元素与最前的元素交换
}

放张图理解一下

如{5,8,5,2,9}，可知选择排序不稳定。

插入排序

流程就像是打牌的摸牌阶段。

操作将一个数插入到一个排好序的序列中时期仍然排好序即可。在序列基本有序或者序列长度小时效率很高。

最差时间复杂度:\(o(n ^ 2)\)
最优时间复杂度:\(o(n)\)
平均时间复杂度:\(o(n ^ 2)\)
算法是否稳定：是

for(int i=2;i<=n;++i) {//[1,i-1]已经排好了序
    int temp=a[i],j=i-1;
    while(j>0&&a[j]>temp) {//将第i张牌插入其中
        a[j+1]=a[j];
        j--;
    }
    a[j+1]=temp;
}

上张动图理解一下

二分插入排序

在插入排序的基础上使用二分查找来确定当前数应该插入到哪里。
这是优化吗？我为什么感觉比插入排序还慢。

时间复杂度:\(o(n(log n + n))\)
算法是否稳定：是否

for(int i=2;i<=n;++i) {
    int left=1,right=i-1,temp=a[i];
    while(left<=right) {//二分查找当前数插入到哪里
        int mid=(left+right)>>1;
        if(a[mid]>temp) right=mid-1;
        else left=mid+1;
    }
    for(int j=i-1;j>=left;--j) a[j+1]=a[j];
    a[left]=temp;//插进去
}

对于if(a[mid]>temp) right=mid-1;

• 如果加了等号的话，不稳定排序
• 如果不加等号的话，是稳定排序

希尔排序

• 插入排序的特点：在序列基本有序或者序列长度小时效率很高。

运用了插入排序,现在我们有一个增量 \(x\) 一般为 \(\frac{n}{2}\) ,我们按照这个分量将整个序列分成 \(x\) 组，对每组进行插入排序（因为插入排序在需要排序的序列的长度很小的时候非常快）。然后我们将增量减小一般为 \(x = \frac{x}{2}\) （最后增量一定会变成 \(1\) ，所以是必然正确的），重复上面的步骤。虽然增量在变小，序列长度在增加，但会变得越来越有序，也就越来越高效。
又叫缩小增量排序。

最差时间复杂度:\(o(n(logn) ^ 2)\)
最优时间复杂度:\(o(n)\)
算法是否稳定：否

int ad=n/2;//增量一开始为n/2
while(ad>=1) {
    for(int i=1;i<=ad;++i) {//分成ad组进行插入排序
        for(int j=i+ad;j<=n;j+=ad) {//插入排序
            int k=j-ad,temp=a[j];
            while(k>=i&&a[k]>temp) {
                a[k+ad]=a[k];k-=ad;
            }
            a[k+ad]=temp;
        }
    }
    ad=ad/2;
}

之后可能会更新一下地精排序啥的，但之后再说。