PAM回文自动机学习小结
PAM
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回文自动机
建议先学习AC自动机：AC自动机讲解超详细
回文自动机，顾名思义，用来处理回文串的自动机。
功能：
1.求 S S S串内本质不同的回文串个数
2.求 S S S串内本质不同的回文串出现次数
3.最小回文划分
4. S S S串中以下标 i i i结尾的最长回文串长度
回文树
看看自己感悟一下。感觉特别形象，都不用解释了啊
还是稍微解释一下：
1.回文数上每一个节点代表了原串上出现过的一个本质不同回文子串，原串上的每一个回文子串都在回文树上有对应。回文树上每一个点代表的串都是回文串。
2.回文树分两部分，奇和偶，奇树上的点代表的回文串长度为奇数，偶树上的为偶
3.儿子节点代表串长度为父亲节点代表串长度 + 2 +2 +2
4.和 T r i e Trie Trie相似的其他性质，不说了
Fail指针
学过AC自动机的OIer们应该就很熟悉啦QwQ
F a i l Fail Fail指针含义：这个节点所代表的回文串的最长回文后缀
Trans指针
一般做许多PAM题目常用的东西
T r a n s Trans Trans指针含义：小于等于当前节点长度一半的最长回文后缀
构建PAM
我们要维护以下信息
char s[maxn]; //原串
int fail[maxn]; //fail指针
int len[maxn]; //该节点表示的字符串长度
int tree[maxn][26]; //同Trie，指向儿子
int trans[maxn]; //trans指针
int tot,pre; //tot代表节点数，pre代表上次插入字符后指向的回文树位置
其中 f a i l , l e n , t r e e , t r a n s fail,len,tree,trans fail,len,tree,trans为PAM上的信息
构建PAM的方法为增量，即一个一个加入字符构建PAM
奇树和偶树的根长度 l e n len len分别为 − 1 -1 −1和 0 0 0
设当前我们插入原串中 i i i位置的字符 u u u
那么以 i i i为结尾的最长回文串应该为(以 i − 1 i-1 i−1为结尾的最长回文串 + u +u +u)，并且那个回文串要满足前一个字符等于 u u u（不然就不是回文串了啊）
要找到那个点非常简单，不断从 p r e pre pre开始跳 f a i l fail fail，直到找到一个满足 s [ i − l e n [ x ] − 1 ] = = u s[i-len[x]-1]==u s[i−len[x]−1]==u 的节点 F a i l Fail Fail ，那么从 F a i l Fail Fail建一个 u u u儿子即可以表示新的回文串。
新点的 f a i l fail fail怎么求呢。
明显为从 p r e pre pre开始跳 f a i l fail fail，找到**{** [第二个(满足 s [ i − l e n [ x ] − 1 ] = = u s[i-len[x]-1]==u s[i−len[x]−1]==u) 的节点 x x x **]**的 u u u儿子 }
也就是从 F a i l Fail Fail开始跳 f a i l fail fail，找到**{** [第一个(满足 s [ i − l e n [ x ] − 1 ] = = u s[i-len[x]-1]==u s[i−len[x]−1]==u) 的节点 x x x **]**的 u u u儿子 }
跳到根记得判断
特别提醒:节点 1 1 1为奇根，节点 0 0 0为偶根， f a i l [ 0 ] = 1 fail[0]=1 fail[0]=1 , l e n [ 1 ] = − 1 len[1]=-1 len[1]=−1
时间复杂度证明参考OIwiki：OIwiki-PAM
放代码理解：
int getfail(int x,int i){ //从x开始跳fail，满足字符s[i]的节点
while(i-len[x]-1<0||s[i-len[x]-1]!=s[i])x=fail[x];
return x;
}
void insert(int u,int i){
int Fail=getfail(pre,i); //找到符合要求的点
if(!tree[Fail][u]){ //没建过就新建节点
len[++tot]=len[Fail]+2; //长度自然是父亲长度+2
fail[tot]=tree[getfail(fail[Fail],i)][u]; //fail为满足条件的次短回文串+u
tree[Fail][u]=tot; //认儿子
}
pre=tree[Fail][u]; //更新pre
}
至于 t r a n s trans trans维护也和 f a i l fail fail差不多
根据 t r a n s trans trans的定义去推一下怎么搞吧
放一下完整代码：
char s[maxn]; //原串
int fail[maxn]; //fail指针
int len[maxn]; //该节点表示的字符串长度
int tree[maxn][26]; //同Trie，指向儿子
int trans[maxn]; //trans指针
int tot,pre; //tot代表节点数，pre代表上次插入字符后指向的回文树位置
int getfail(int x,int i){ //从x开始跳fail，满足字符s[i]的节点
while(i-len[x]-1<0||s[i-len[x]-1]!=s[i])x=fail[x];
return x;
}
int gettrans(int x,int i){
while(((len[x]+2)<<1)>len[tot]||s[i-len[x]-1]!=s[i])x=fail[x];
return x;
}
void insert(int u,int i){
int Fail=getfail(pre,i); //找到符合要求的点
if(!tree[Fail][u]){ //没建过就新建节点
len[++tot]=len[Fail]+2; //长度自然是父亲长度+2
fail[tot]=tree[getfail(fail[Fail],i)][u]; //fail为满足条件的次短回文串+u
tree[Fail][u]=tot; //指儿子
if(len[tot]<=2)trans[tot]=fail[tot]; //特殊trans
else{
int Trans=gettrans(trans[Fail],i); //求trans
trans[tot]=tree[Trans][u];
}
}
pre=tree[Fail][u]; //更新pre
}
应用
P5496【模板】回文自动机（PAM）
求第 i 个整数表示原串以第 i 个字符结尾的回文子串个数，强制在线
明显：一个回文串的答案等于其最长回文后缀的答案 + 1 +1 +1 （这超好理解的吧
那就在多维护一个信息 a n s ans ans表示答案，新建节点时更新即可
ans[tot]=ans[fail[tot]]+1;
答案为lastans=ans[pre];
代码：
#include<bits/stdc++.h>
#define maxn 510001
using namespace std;
char s[maxn];
int fail[maxn],len[maxn],ans[maxn],trie[maxn][26];
int pre,slen,lastans,tot;
int getfail(int x,int i){
while(i-len[x]-1<0||s[i-len[x]-1]!=s[i])x=fail[x];
return x;
}
int main(){
scanf("%s",s);slen=strlen(s);
fail[0]=1;len[1]=-1;tot=1;
for(int i=0;i<slen;i++){
if(i>=1)s[i]=(s[i]-97+lastans)%26+97;
int u=s[i]-'a';
int Fail=getfail(pre,i);
if(!trie[Fail][u]){
fail[++tot]=trie[getfail(fail[Fail],i)][u];
trie[Fail][u]=tot;
len[tot]=len[Fail]+2;
ans[tot]=ans[fail[tot]]+1;
}
pre=trie[Fail][u];
lastans=ans[pre];
printf("%d ",lastans);
}
return 0;
}
P4287[SHOI2011]双倍回文
学好 t r a n s trans trans指针，秒切此题
明显：当存在 i i i满足 l e n [ t r a n s [ i ] ] ∗ 2 = = l e n [ i ] len[trans[i]]*2==len[i] len[trans[i]]∗2==len[i]并且满足题意中 l e n [ t r a n s [ i ] ] len[trans[i]]%2==0 len[trans[i]]即为符合题意的串，取最长即可。
代码：真·模板
#include<bits/stdc++.h>
#define maxn 510001
using namespace std;
char s[maxn]; //原串
int fail[maxn]; //fail指针
int len[maxn]; //该节点表示的字符串长度
int tree[maxn][26]; //同Trie，指向儿子
int trans[maxn]; //trans指针
int tot,pre; //tot代表节点数，pre代表上次插入字符后指向的回文树位置
int getfail(int x,int i){ //从x开始跳fail，满足字符s[i]的节点
while(i-len[x]-1<0||s[i-len[x]-1]!=s[i])x=fail[x];
return x;
}
int gettrans(int x,int i){
while(((len[x]+2)<<1)>len[tot]||s[i-len[x]-1]!=s[i])x=fail[x];
return x;
}
void insert(int u,int i){
int Fail=getfail(pre,i); //找到符合要求的点
if(!tree[Fail][u]){ //没建过就新建节点
len[++tot]=len[Fail]+2; //长度自然是父亲长度+2
fail[tot]=tree[getfail(fail[Fail],i)][u]; //fail为满足条件的次短回文串+u
tree[Fail][u]=tot; //指儿子
if(len[tot]<=2)trans[tot]=fail[tot]; //特殊trans
else{
int Trans=gettrans(trans[Fail],i); //求trans
trans[tot]=tree[Trans][u];
}
}
pre=tree[Fail][u]; //更新pre
}
int slen,ans;
int main(){
scanf("%d",&slen);
scanf("%s",s);
fail[0]=1;len[1]=-1;tot=1;
for(int i=0;i<slen;i++)insert(s[i]-'a',i);
for(int i=2;i<=tot;i++){
if(len[trans[i]]*2==len[i]&&len[trans[i]]%2==0)
ans=max(ans,len[i]);
}
printf("%d\n",ans);
return 0;
}
P4555[国家集训队]最长双回文串
题目描述：
顺序和逆序读起来完全一样的串叫做回文串。比如`acbca`是回文串，而`abc`不是（`abc`的顺序为`abc`，逆序为`cba`，不相同）。
输入长度为n的串S，求S的最长双回文子串T,即可将T分为两部分X，Y，（|X|,|Y|≥1）且X和Y都是回文串。
简单PAM题
题解：
正着建一棵PAM， a [ i ] a[i] a[i]记录当前位置 i i i结尾最长回文串长度
反着建一棵PAM， b [ i ] b[i] b[i]记录当前位置 i i i结尾最长回文串长度
a [ i ] + b [ i + 1 ] a[i]+b[i+1] a[i]+b[i+1]即为以 i i i为分界的双回文串
取 a [ i ] + b [ i + 1 ] a[i]+b[i+1] a[i]+b[i+1]最大值即为答案
代码：封装版PAM
#include<bits/stdc++.h>
#define maxn 510001
using namespace std;
char s[maxn];
int slen,a[maxn],b[maxn],ans;
struct PAM{
int fail[maxn],len[maxn],trie[maxn][26];
int tot,pre;
void init(){fail[0]=1;len[1]=-1;tot=1;pre=0;}
int getfail(int x,int i){
while(i-len[x]-1<0||s[i-len[x]-1]!=s[i])x=fail[x];
return x;
}
void insert(int u,int i){
int Fail=getfail(pre,i);
if(!trie[Fail][u]){
fail[++tot]=trie[getfail(fail[Fail],i)][u];
trie[Fail][u]=tot;
len[tot]=len[Fail]+2;
}
pre=trie[Fail][u];
}
}A,B;
int main(){
scanf("%s",s);slen=strlen(s);A.init();B.init();
for(int i=0;i<slen;i++)A.insert(s[i]-'a',i),a[i]=A.len[A.pre];
reverse(s,s+slen); //翻转
for(int i=0;i<slen;i++)B.insert(s[i]-'a',i),b[slen-i-1]=B.len[B.pre];
for(int i=0;i<slen-1;i++)ans=max(ans,a[i]+b[i+1]);
printf("%d\n",ans);
return 0;
}
P4762[CERC2014]Virus synthesis
PAM好题，请好好思考
题意：
初始有一个空串，利用下面的操作构造给定串 S S S 。
1、串开头或末尾加一个字符
2、串开头或末尾加一个该串的逆串
求最小化操作数， ∣ S ∣ ≤ 1 0 5 ∣\ S∣≤10^5 ∣ S∣≤105 。
题解：
PAM上dp
To be continue……