51nod 1597 有限背包计数问题 (背包 分块)

题意

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sol

不会做啊aaa。。

暴力上肯定是不行的，考虑根号分组

设\(m = \sqrt{n}\)

对于前\(m\)个直接暴力，利用单调队列优化多重背包的思想，按\(\% i\)分组一下。复杂度\(o(n\sqrt{n})\)

对于后\(m\)个，此时每个物品没有个数的限制，换一种dp方法

设\(g[i][j]\)表示用了\(i\)个物品，大小为\(j\)的方案数。

转移的时候有两种方案

1. 把当前所有物品大小\(+1\)，\(g[i][j + i] += g[i][j]\)

2. 新加入一个最小的物品, \(g[i + 1][j + m + 1] += g[i][j]\)

看上去很显然，但自己想不出来qwq

#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<cstring>
#define pt(x) printf("%d\n", x);
using namespace std;
const int maxn = 1e5 + 10, mod = 23333333;
int n, m, f[81][maxn], g[81][maxn];
int add(int x, int y) {
    return (x + y >= mod) ? (x + y - mod): x + y;
}
int main() {
    scanf("%d", &n);
    m = sqrt(n);

    /*f[0][0] = 1; int o = 1; 
    for(int i = 1; i <= m; i++) {
        for(int k = 0; k < i; k++) {//res
            int s = 0;
            for(int t = 0; i * t + k <= n; t++) {//num
                s = add(s, f[i - 1][k + t * i]);
                f[i][k + t * i] = s;
                if(t >= i) s = (s - f[i - 1][(t - i) * i + k] + mod) % mod;//over take
            }
        }
    }   
    int ans = f[m][n];
    
    pt(ans)
    
    g[0][0] = 1; int p = 0;
    
    for(int i = 1; i <= m; i++) {// used i goods
        for(int j = 0; j <= n; j++) {// length is j     
            if(j >= m + 1) g[i][j] = g[i - 1][j - (m + 1)];
            if(j >= i)     g[i][j] = add(g[i][j], g[i][j - i]);
        }
        for(int j = 0; j <= n; j++) (ans += 1ll * f[m][j] * g[i][n - j] % mod) %= mod;
    }
    printf("%d", ans);*/
    
    f[0][0] = 1; int o = 1; 
    for(int i = 1; i <= m; i++, o ^= 1) {
        memset(f[o], 0, sizeof(f[o]));
        for(int k = 0; k < i; k++) {//res
            int s = 0;
            for(int t = 0; i * t + k <= n; t++) {//num
                s = add(s, f[o ^ 1][k + t * i]);
                f[o][k + t * i] = s;
                if(t >= i) s = (s - f[o ^ 1][(t - i) * i + k] + mod) % mod;//over take
            }
        }
    }   
    int ans = f[o ^ 1][n], tmp = o ^ 1; 
    
    pt(ans)
    g[0][0] = 1; o = 1;
    for(int i = 1; i <= m; i++, o ^= 1) {// used i goods
        memset(g[o], 0, sizeof(g[o]));
        for(int j = 0; j <= n; j++) {// length is j     
            if(j >= m + 1) g[o][j] = g[o ^ 1][j - (m + 1)];
            if(j >= i)     g[o][j] = add(g[o][j], g[o][j - i]);
        }
        for(int j = 0; j <= n; j++) (ans += 1ll * f[tmp][j] * g[o][n - j] % mod) %= mod;
    }
    printf("%d", ans);
    return 0;
}