HDU2082母函数模板题

problem description 假设有x1个字母a， x2个字母b,..... x26个字母z，同时假设字母a的价值为1，字母b的价值为2,..... 字母z的价值为26。那么，对于给定的字母，可以找到多少价值<=50的单词呢？单词的价值就是组成一个单词的所有字母的价值之和，比如，单词acm的价值是1+3+14=18，单词hdu的价值是8+4+21=33。(组成的单词与排列顺序无关，比如acm与cma认为是同一个单词）。

input 输入首先是一个整数n，代表测试实例的个数。
然后包括n行数据，每行包括26个<=20的整数x1,x2,.....x26.

output 对于每个测试实例，请输出能找到的总价值<=50的单词数,每个实例的输出占一行。
sample input

2 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 9 2 6 2 10 2 2 5 6 1 0 2 7 0 2 2 7 5 10 6 10 2 10 6 1 9

sample output

7 379297

source

知识点:

母函数(生成函数):

生成函数有普通型生成函数和指数型生成函数两种(本题是普通型)。

形式上，普通型母函数用于解决多重集的组合问题，

指数型母函数用于解决多重集的排列问题。

母函数还可以解决递归数列的通项问题（例如使用母函数解决斐波那契数列，catalan数的通项公式）。

普通母函数：

构造母函数g(x), g(x) = a0 + a1*x + a2*+ a3*+....+ an*， 则称g(x)是数列a0,a1…an的母函数。

通常普通母函数用来解多重集的组合问题，其思想就是构造一个函数来解决问题，一般过程如下：

1.建立模型：物品n种,每种数量分别为k1,k2,..kn个，每种物品又有一个属性值p1,p2,…pn,(如本题的字母价值)，

求属性值和为m的物品组合方法数。（若数量ki无穷 也成立，即对应下面式子中第ki项的指数一直到无穷）

2.构造母函数：g(x)=(1++…)(1+++…)…(1+++…) （一）

=a0 + a1*x + a2*+ a3*+....+ akk* (设kk=k1·p1+k2·p2+…kn·pn) （二）

g(x)含义： ak 为属性值和为k的组合方法数。

母函数利用的思想：

1.把组合问题的加法法则和幂级数的乘幂对应起来。

2.把离散数列和幂级数对应起来，把离散数列间的相互结合关系对应成为幂级数间的运算关系，最后由幂级数形式来

确定离散数列的构造。

代码实现：

求g(x)时一项一项累乘。先令g=1=(1+0*x+0*+…0*),再令g=g*(1++…)得到形式(二)的式子…最后令g=g*(1+++…)。

 

题解：

1.建模：物品(字母)26种，每种数量x1,x2…x26，属性值为1,2,3..26,求属性值和<=50的组合方法数。

2.g(x)=(1++…)(1+++…)…(1++…)

#include 
#include 
#include 
#include 


using namespace std;
int c1[100],c2[100];
int a[30];
int main()
{
int t;
cin >> t;
while(t --)
{
for(int i = 1; i <= 26; i ++)
cin >> a[i];
memset(c1,0,sizeof(c1));
memset(c2,0,sizeof(c2));
c1[0] = 1;///初始化
for(int i = 1; i <= 26; i ++)///对应26个多项式
{
for(int j = 0; j <= 50; j ++) ///每个多项式中对应的指数
for(int k = 0; k <= a[i] && k * i + j <= 50; k ++) ///k*i表示被乘多项式各项的指数
c2[j + k * i] += c1[j];
memcpy(c1,c2,sizeof(c2));///c2数组的值赋值给c1
memset(c2,0,sizeof(c2));///c2初始化
}
///累加
int sum = 0;
for(int i = 1; i <= 50; i ++)
sum += c1[i];
cout << sum << endl;
}
return 0;
}