有限长离散变换（DFT）理解

DTFT与DFT的关系

之前在Signals And Systems里学傅里叶变换时讲到了几种傅里叶变换，留下了DFT放在DSP里深入学习。本质上来说DFT就是DTFT的频域采样过程，也是DSP的关键步骤。可是在学习中还是对DFT很多性质不明白
我们知道计算机能处理的都是离散的值，DTFT中得到的频谱仍然是连续的，因此需要对频谱进行一个采样的过程使之能够被计算机处理。

首先对模拟信号进行采样，对一个以2π为周期的COS函数用适当的冲激串采样后如左图所示，这里采用N=64,采样了两个周期。然后采样了一个指数函数，右图所示。

在查看DFT结果之前，先看看DTFT的结果是什么样的：由DTFT计算公式很容易推出上图，这就是理想情况下使用DFT在频域上采样后应该得到的图形。这里的横坐标应该是一个周期内的w。进行DFT的目的其实就是为了在计算机内能够得到这样一幅曲线，但是实际上DTFT的频谱是连续的，计算机只能逼近DTFT的结果，这就需要DFT对频域进行采样，将连续的频域离散化。

对频域进行采样就有了另外一个问题：频域相乘对应时域卷积，也就是说采样这个过程实际上相当于时域上卷积了一个东西，它可能改变了原有的输入信号，分别以上面两个函数为例。首先是COS函数：

左图N=64，右图N=80。

// DFT MATLAB实现
r=2;
N=64;
n=[0:63];

Xn=cos(2*pi*r*n/N);
Xr=1*exp(-n);

subplot(2,2,1);
Xk1=fft(Xn,64);
stem(abs(Xk1))
subplot(2,2,2);
Xk2=fft(Xn,80);
stem(abs(Xk2));

可以看到，MATLAB内置函数fft要求你提供两个参数，第一个是原有序列，第二个是采样点数N。他的含义就是拿这N个点去采样原来的那个COS函数。一开始学的时候这里非常容易弄混，因为DFT实现频域离散化的原理实质上就是在时域上加窗，这里的N就是加矩形窗的长度。当N=64或其他周期的整倍数时，矩形窗正好截取到了完整的COS函数，因此在这基础上的DFT与DTFT就相同了，因为他们两个此时变换的其实是同一个序列。

可是当N=80或其他非周期的数值时，矩形窗截取的周期性就被打断了，此时时域加窗截取到的是不完整的COS函数。而DFT的分析中将这个不完整的COS函数当作基波周期，换句话说就是DFT分析认为现在截取到的这个不懂是什么东西的80个点它本来是周期的，对这个函数进行了DFT变换。而DTFT没有加窗这一步，它分析的是整个时域上的离散信号，COS函数在整个时域上是周期的，因此差别就体现出来了。频域上的抖动是因为时域的加矩形窗这个操作相当于频域上COS与SINC函数相乘，得到了这个结果。

接下来就很容易想到另一个问题：实际中根本不会有这种这么完美的周期信号，那么他们的DFT是什么样的呢？接着对指数函数进行DFT：

左图N=64，右图N=180。

可以看到随着N的增大，整个图像并没有出现明显失真，反而是随着N的增大越来越逼近DTFT的频域曲线。这也可以用时域加窗的思路来理解。指数函数本身并没有周期，时域上加的窗越长就能获得越多的信息，图像就越逼近理想DTFT曲线，这其实也是计算机内部模拟DTFT计算的原理：增大N值使用DFT来逼近DTFT的结果。

可以想到，当信号频率成分复杂时，从时域加窗的角度，使用DFT也会有很多限制，N取得较小时，频谱很容易泄漏，也就就是所谓的频谱分辨率不够。此时一般两种做法：要么提高N点数，要么使用更高级的滤波器，这就是DSP的后续内容了。