01分数规划算法

例题一
例题二
基础问题是这样的:
现在有n件衣服，每一件都有其价值和价格，现在要求你买k件衣服，使得单位价格内的价值最高

01分数规划算法原理:
现在假设value为每一件衣服的价值，cost为花费，那么r就是单位价格内价值。

现在假设 r* 为单位价格的最大价值，然后我们把 r* 乘过去，然后变换一下得到

这时我们再设一个函数f( r )，自变量只有r，那么有

而又因为只有一个自变量，那么现在的xi我们可以看成一个常数，那么我们可以看到 - r* 表示斜率为负，与y轴的截距一定为正，因为价值一定为正，那么我们现在可以画出图:

那么我们又可以得出，当纵坐标为0时，也就是f( r )为0时，那么横坐标就为现在的r值(也就是我们现在所求的单位代价下的最大价值)，那么我们现在如何来求得最大值?
我们观察可知，如果一条斜率不存在的直线(也就是一条竖线)与图中的一条直线相交时，如果相交的点的纵坐标为正，那么说明最大值还在右边，如果为负，刚好相反，最小值还在左边。
根据这一点，我们就可以开始二分答案了。枚举r的值，如果f( r ) > 0 那么 left = right，否则right = left，又因为，我们还要选k件衣服出来，所以我们还要选出前k个f( r )最大的值相加再判断，大于0否。

例题一AC代码

#include <bits/stdc++.h>
inline long long read(){char c = getchar();long long x = 0,s = 1;
while(c < '0' || c > '9') {if(c == '-') s = -1;c = getchar();}
while(c >= '0' && c <= '9') {x = x*10 + c -'0';c = getchar();}
return x*s;}
using namespace std;
#define NewNode (TreeNode *)malloc(sizeof(TreeNode))
#define Mem(a,b) memset(a,b,sizeof(a))
#define lowbit(x) (x)&(-x)
const int N = 1e5 + 10;
const long long INFINF = 0x7f7f7f7f7f7f7f;
const int INF = 0x3f3f3f3f;
const double EPS = 1e-7;
const unsigned long long mod = 998244353;
const double II = acos(-1);
const double PP = (II*1.0)/(180.00);
typedef long long ll;
typedef unsigned long long ull;
typedef pair<int,int> pii;
typedef pair<ll,ll> piil;
int n,m,piao[N],qian[N];//piao代表价值，qian代表代价
double arr[N];
bool cmp(double a,double b)
{
    return a > b;
}
bool solve(double mid)
{
    for(int i = 1;i <= n;i++)
        arr[i] = piao[i] - qian[i]*mid;
    sort(arr+1,arr+1+n,cmp);
    double sum = 0;
    for(int i = 1;i <= m;i++)//选出前m个数
        sum += arr[i];
    if(sum > 0)
        return true;
    else
        return false;
}
int main()
{
    std::ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(0),cout.tie(0);
    cin >> n >> m;
    for(int i = 1;i <= n;i++)
        cin >>  qian[i] >> piao[i];
    double l = 0,r = 1e9;
    while(r - l > EPS)
    {
        double mid = (r+l)/2.0;
        if(solve(mid))
            l = mid;
        else
            r = mid;
    }
    cout << fixed << setprecision(2) << l << endl;
}