Lucas 定理 大组合数取余 【学习】

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基本的公式模板

LL A(LL n,LL m){
    LL ans=1;
    for(LL i=n-m+1;i<=n;i++) ans*=i;
    return ans;
}
LL C(LL n,LL m){
    LL ans=1;
    for(LL i=n-m+1;i<=n;i++) ans*=i;
    for(LL i=1;i<=m;i++)     ans/=i;
    return ans;
}
const int cn=30;  // 组合数打表  
const int cm=30;
LL wc[cn][cm];
void init(){
    for(int i=0;i<=cm;i++) wc[i][0]=1;
    for(int i=1;i<=cn;i++){
        for(int j=1;j<=i&&j<=cm;j++){
            wc[i][j]=wc[i-1][j-1]+wc[i-1][j];
        }
    }
}

代码递归实现Lucas(n, m) % p

int Lucas(LL n, LL m, LL p)
{
    if(m == 0)
        return 1 % p;
    else
        return C(n%p, m%p, p) * Lucas(n/p, m/p, p);
}

其中C(n, m, p) = n! / (m! (n-m)!) % p。
这里可以利用费马小定理a^(p-1) = 1 (mod p) -> a^(p-2) = a^(-1) (mod p)。

C(n, m, p) = n! * (m! (n-m)!)^(p-2)。

在计算时我们一般都是先预处理阶乘。

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#define MAXN 1000
#define LL long long
using namespace std;
int fac[MAXN];//存储阶乘
void getfac(LL p)//预处理阶乘 前p个数就可以了
{
    fac[0] = 1 % p;
    for(LL i = 1; i <= p; i++)
        fac[i] = fac[i-1] * i % p;
}
LL pow_mod(LL a, LL n, LL p)//求解逆元
{
    LL ans = 1 % p;
    while(n)
    {
        if(n & 1)
            ans = ans * a % p;
        a = a * a % p;
        n >>= 1;
    }
    return ans;
}
LL C(LL n, LL m, LL p)
{
    if(m > n) return 0;
    else return fac[n] * pow_mod(fac[m] * fac[n-m] % p, p-2, p);
}
LL Lucas(LL n, LL m, LL p)
{
    if(m == 0)
        return 1 % p;
    else
        return C(n%p, m%p, p) * Lucas(n/p, m/p, p) % p;
}
int main()
{
    LL n, m, p;//求解C(n, m) % p
    while(scanf("%lld%lld%lld", &n, &m, &p) != EOF)
    {
        getfac(p);
        printf("%lld\n", Lucas(n, m, p));
    }
    return 0;
}