Counting Divisors HDU - 6069 （区间素数筛 + 一个数的所有素因子的个数 + 约数定理 + 数学）

In mathematics, the function d(n)d(n) denotes the number of divisors of positive integer nn. 

For example, d(12)=6d(12)=6 because 1,2,3,4,6,121,2,3,4,6,12 are all 1212's divisors. 

In this problem, given l,rl,r and kk, your task is to calculate the following thing : 

(∑i=lrd(ik))mod998244353(∑i=lrd(ik))mod998244353

InputThe first line of the input contains an integer T(1≤T≤15)T(1≤T≤15), denoting the number of test cases. 

In each test case, there are 33 integers l,r,k(1≤l≤r≤1012,r−l≤106,1≤k≤107)l,r,k(1≤l≤r≤1012,r−l≤106,1≤k≤107).OutputFor each test case, print a single line containing an integer, denoting the answer.Sample Input

3
1 5 1
1 10 2
1 100 3

Sample Output

10
48
2302

题意：输入 l r k 求   l<= t<=r,  求   对多有满足条件的t 的   d(t^k)=t^k的所有 不同因子的个数    的总和

思路：想求d(t^k)，先求 d(t),根据约数定理 求不同因子的个数，先把 t 表示为不同素因子的积的形式；

n=p1^c1×p2^c2×p3^c3*…*pm^cm

d（n） = （C1 + 1）*（C2 + 1）*...... (Cm+1) ；表示不同因子的个数；

c1+1 为从中可以选出 1个p1，2个p1...... c1个p1，加 1就是 一个p1也不选，光p1这个素数就 c1+1 种情况，然后和其他选出的素因子结合；有一种情况就是 所有的素因子都不选，那么这种情况 就是 n个素因子为1 的这种情况；

理解了d（n），那么d（n^k）就好理解了

写代码应注意;

1，用三目运算符时，一定要加括号，就这道题而言，不加括号就是超时；

2，代码中用到了 区间素数筛， 还有最重要的时，a[] 和 sum[] 数组，sum[i] 存 sum[l+i] 的素因子个数；

a[i] = l + i; 找到 l+i的素因子时，一直除到不能整除 这个素因子位置；

3，当一个数 n，把1~根号n 中的素数 能除的都除尽了，但最终 n 不为1，那么这么剩余的n一定是个大素数；

我说这个大素数有两种情况 （1） n 本身为 素数  （2） n 把1~ 根号n中的素数除完之后，剩余的数为素数；

如 n = 14，14 把 1~根号14 中的素数都除尽后，剩下 7，7为素数；

代码:

#include<stdio.h>
#include<string.h>
#include<algorithm>
using namespace std;
#define ll long long  
#define Max 1000000+10
#define mod 998244353
bool is_prime[Max];  // 0~Max 之间的素数 
ll prime[Max];  // 存 0~Max 之间的素数； 
ll sum[Max];   //  sum[i]表示 l+i的因子个数； 
ll a[Max];     // a[i] = l+i; 为了素数分解； 
  
ll l,r,k;
ll num;

void Prime()
{
	num = 0;
	ll i,j;
	memset(is_prime,true,sizeof(is_prime));
    is_prime[0] = false;
    is_prime[1] = false;
    for(i = 2;i<Max;i++)     
    {
        if(is_prime[i])
        {
            prime[num++] = i;    // 找出1 ~ 1000000中的素数； 
            for(j = 2;i*j<Max;j++)
                is_prime[i*j] = false;
        }
    }
}
int main()
{
	Prime();
    ll i,j,t;
    scanf("%lld",&t);
    while(t--)
    {
        scanf("%lld%lld%lld",&l,&r,&k);
        for(i = 0;i<=r-l;i++)
        {
            sum[i] = 1;    // 要进行乘法，所以要赋值为1； 
            a[i] = l+i;    //  为了把 a[i] == l+i 进行分解； 
        }
         for(i = 0;i<num;i++)
         {
             ll temp = (l/prime[i]+((l%prime[i])?1:0))*prime[i]; 
             // 三目运算符一定要加括号；，不加括号超时； 
			 //找到[l,r]中第一个能被这个素数整除的数；
             
             for(j = temp; j<=r; j += prime[i])     // 先找到能整除素数prime[i]的数； 
             {
                 ll res = 0;
                 while(a[j-l]%prime[i]==0)  // 把这个数进行素数分解； 
                 {
                     a[j-l] /= prime[i];
                     res++;
                 }
                 sum[j-l] = (sum[j-l]*((res*k+1)%mod))%mod; 
             }
         }
        ll res = 0;
        for(i = 0;i<=r-l;i++)
        {
            if(a[i]!=1) sum[i] = sum[i]*(k+1)%mod;  //分解之后，若不是1，一定是个大素数； 
            
            res = (res+sum[i])%mod; 
        }
        printf("%lld\n",res);
    }
    return 0;
}