Leetcode组队学习——分治
主要思想
分治算法的主要思想是将原问题递归地分成若干个子问题,直到子问题满足边界条件,停止递归。将子
问题逐个击破(一般是同种方法),将已经解决的子问题合并,最后,算法会层层合并得到原问题的答
案。
分治算法的步骤
- 分:递归地将问题分解为各个的子问题(性质相同的、相互独立的子问题);
- 治:将这些规模更小的子问题逐个击破;
- 合:将已解决的子问题逐层合并,最终得出原问题的解
分治法适用的情况
- 原问题的计算复杂度随着问题的规模的增加而增加
- 原问题能够被分解成更小的子问题
- 子问题的结构和性质与原问题一样,并且相互独立,子问题之间不包含公共的子子问题
- 原问题分解出的子问题的解可以合并为该问题的解。
伪代码
def divide_conquer(problem, paraml, param2,...):
# 不断切分的终止条件
if problem is None:
print_result
return
# 准备数据
data=prepare_data(problem)
# 将大问题拆分为小问题
subproblems=split_problem(problem, data)
# 处理小问题,得到子结果
subresult1=self.divide_conquer(subproblems[0],p1,..…)
subresult2=self.divide_conquer(subproblems[1],p1,...)
subresult3=self.divide_conquer(subproblems[2],p1,.…)
# 对子结果进行合并 得到最终结果
result=process_result(subresult1, subresult2, subresult3,...)
3道例题
169.多数元素
给定一个大小为 n 的数组,找到其中的多数元素。多数元素是指在数组中出现次数大于 ⌊ n/2 ⌋ 的元素。
你可以假设数组是非空的,并且给定的数组总是存在多数元素。
1.分治法
class Solution:
def majorityElement(self, nums: List[int]) -> int:
if not nums:
return None
if len(nums) == 1:
return nums[0]
# 【准备数据,并将大问题拆分为小问题】
left = self.majorityElement(nums[:len(nums)//2])
right = self.majorityElement(nums[len(nums)//2:])
# 【处理子问题,得到子结果】
# 【对子结果进行合并 得到最终结果】
if left == right:
return left
if nums.count(left) > nums.count(right):
return left
else:
return right
本题分治法非最优解,但可以利用分治的思想逐步的求出众数。116ms, 15.2MB
2.排序取中间值
class Solution:
def majorityElement(self, nums: List[int]) -> int:
nums.sort()
return nums[len(nums)//2]
中间数必为众数,44ms,15.1MB
3.哈希表
class Solution:
def majorityElement(self, nums: List[int]) -> int:
dict = {}
for i in nums:
if i in dict.keys():
dict[i] +=1
else:
dict[i] = 1
max = 0
for j in dict:
if dict[j] > max:
max = dict[j]
index = j
return index
第一个循环构建哈希表,字典的键为数组的值,字典的值为出现次数,第二次遍历哈希表找到最终解。56ms,15.2MB
4.摩尔投票法
class Solution:
def majorityElement(self, nums: List[int]) -> int:
value = 0
count = 0
for i in nums:
if count == 0:
value = i
if i == value:
count += 1
else:
count -= 1
return value
摩尔投票法(Boyer–Moore majority vote algorithm),也被称作「多数投票法」,算法解决的问题是:如何在任意多的候选人中(选票无序),选出获得票数最多的那个。
算法可以分为两个阶段:
- 对抗阶段:分属两个候选人的票数进行两两对抗抵消
- 计数阶段:计算对抗结果中最后留下的候选人票数是否有效
在本题中,则任选一个数(第一个数)为候选者,遍历列表,不同则减一,相同加一,若总数为0,则重新选取下一个数为候选,以此类推。56ms,15MB
53.最大子序和
给定一个整数数组 nums ,找到一个具有最大和的连续子数组(子数组最少包含一个元素),返回其最大和。
1.暴力计算
class Solution:
def maxSubArray(self, nums: List[int]) -> int:
length = len(nums)
max_ = nums[0]
sum_ = nums[0]
for i in range(1, length):
# 当当前序列加上此时的元素的值大于当前元素的值,说明最大序列和可能出现在后续序列中,记录此时的最大值
if sum_ + nums[i] > nums[i]:
max_ = max(max_, sum_+nums[i])
sum_ = sum_ + nums[i]
#当当前和小于此时加上的元素时,当前最长序列到此为止。以该元素为起点继续找最大子序列,并记录此时的最大值
else:
max_ = max(max_, nums[i])
sum_ = nums[i]
return max_
基本思路就是遍历一遍,用两个变量,一个记录最大的和,一个记录当前的和,52ms
2.分治算法
class Solution:
def maxSubArray(self, nums: List[int]) -> int:
n = len(nums)
#递归终止条件
if n == 1:
return nums[0]
else:
#递归计算左半边最大子序和
max_left = self.maxSubArray(nums[0:len(nums) // 2])
#递归计算右半边最大子序和
max_right = self.maxSubArray(nums[len(nums) // 2:len(nums)])
#计算中间的最大子序和,从右到左计算左边的最大子序和,从左到右计算右边的最大子序和,再相加
max_l = nums[len(nums) // 2 - 1]
tmp = 0
for i in range(len(nums) // 2 - 1, -1, -1):
tmp += nums[i]
max_l = max(tmp, max_l)
max_r = nums[len(nums) // 2]
tmp = 0
for i in range(len(nums) // 2, len(nums)):
tmp += nums[i]
max_r = max(tmp, max_r)
#返回三个中的最大值
return max(max_right,max_left,max_l+max_r)
利用分治的思想,列表的最大子序和要么在左半边,要么在右半边,要么是穿过中间,对于左右边的序列,情况也是一样,因此可以用递归处理。中间部分的则可以直接计算出来。180ms,14.3MB
3.动态规划
class Solution:
def maxSubArray(self, nums: List[int]) -> int:
if len(nums) == 0:
return 0
if len(nums) == 1:
return nums[0]
dp = nums[:] # 初始化dp数组,dp[i]存储以nums[i]为结尾的子数组的和的最大值
res = dp[0]
for i in range(1, len(nums)):
dp[i] = max(dp[i], dp[i] + dp[i - 1]) # 更新dp[i]
res = max(res, dp[i]) # 更新全局最大值
return res
dp[i] 存储的不是从 0 到 i 这个范围内所得到的最大的连续子数组的和,而是以 nums[i] 为结尾的子数组所能达到的最大的和。52ms,14.4MB
50. Pow(x, n)
计算 x 的 n 次幂函数。
1.分治+递归
class Solution:
def myPow(self, x: float, n: int) -> float:
def power(x, n):
if n == 0:
return 1.0
temp = power(x, n//2 )
if n%2 == 1:
return temp*temp*x
else:
return temp*temp
if n>0:
return power(x,n)
else:
return 1.0/(power(x, -n))
不断除2,需要注意的是要用一个临时变量代替递归函数,否则计算量巨大导致超时。48ms, 13.7MB
2.分治+迭代
class Solution:
def myPow(self, x: float, n: int) -> float:
def quickMul(N):
ans = 1.0
# 贡献的初始值为 x
x_contribute = x
# 在对 N 进行二进制拆分的同时计算答案
while N > 0:
if N % 2 == 1:
# 如果 N 二进制表示的最低位为 1,那么需要计入贡献
ans *= x_contribute
# 将贡献不断地平方
x_contribute *= x_contribute
# 舍弃 N 二进制表示的最低位,这样我们每次只要判断最低位即可
N //= 2
return ans
return quickMul(n) if n >= 0 else 1.0 / quickMul(-n)
另一个官方解法,正向计算,每当n是奇数时就单独乘一个x直到遍历结束。复杂度和上述方法一样。
本博客部分内容来源于Datawhale组对学习。