详解定点数相关运算(定点数补码的加法，减法，原码一位乘法，补码一位乘法 )

1.定点数补码的加法

1.定义：

两个补码表示的数相加，符号位参加运算，且两数和的补码等于两数补码之和。两个数不管正负，均用补码表示，符号位应当做数值参加运算，符号位相加所产生的进位要丢掉，结果为补码。

2.举例：

X＝0.1011 Y＝-0.0101，求 X+Y＝？

解：
[X]补=0.1011，[Y]补=1.1011
[X]补+[Y]补 = 0.1011+1.1011 = 0.0110 = [X+Y]补
所以 X+Y = 0.0110

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2.定点数的补码减法

1.定义：

对于减法，（-Y）的补码称为[Y]补的机器负数，由[Y]补求[-Y]补的过程称为将[Y]补“变补”或对[Y]补求补，由[Y]补求[-Y]补的方法是，不管Y的真值为正或为负，都是将[Y]补的各位连同符号位在内全变反后，最低位加1。

2.说明：

将“某数的补码表示”与“变补”这两个概念区分开来。一个负数由原码表示转换成补码表示时，符号位是不变的，仅对数值位各位变反，末位加“1”。而变补则不论这个数的真值是正是负，一律连同符号位一起变反（所有的二进制位一起变反），末位加“1”。

3.举例

X=-0.1011，Y=-0.0110, 求X-Y=?

解：
[X]补=1.0101，[Y]补=1.1010，[-Y]补=0.0110
[X]补+[-Y]补 = 1.1011 = [X-Y]补
所以 X-Y = 1.0101 = -0.0101

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3.原码一位乘法

1.定义

原码一位乘法是从手算演变而来的。即用两个操作数的绝对值相乘，乘积的符号为两操作数符号的异或值（同号为正，异号为负）。

定点原码一位乘法(Unsigned Binary Multiplication)

设被乘数[X]原=XfX1X2……Xn-1Xn

乘 数[Y]原=YfY1Y2…Yn-1Yn

乘 积[Z]原=ZfZ1Z2……Z2n-1Z2n

2.运算规则：

由于机器字长通常仅有n位，两个n位数相乘结果为2n位；且仅仅有两个操作 数相加的加法器，难以胜任将n个位积一次相加起来。因此，在计算机中不能直 接照搬手工计算乘法的方法，必须进行修改使其便于计算机实现。

1. 被乘数和乘数均取绝对值参加运算，符号位单独考虑；
2. 被乘数取双符号位，部分积的长度同被乘数，初值为0；
3. 从乘数的最低位Yn开始判断： 若Yn＝1，则部分积加上被乘数|X|，然后右移一位； 若Yn＝0，则部分积加上0，然后右移一位。
4. 重复第3步操作n次

3.例题

已知X=0.1101,Y=-0.1011,用原码一位乘计算X * Y=?

解：
[X]原=0.1101，[Y]原=1.1011
|X|=00.1101（用双符号位表示），|Y|=0.1011（用单符号位） ，部分积初值：00.0000ji

 - 乘数最低位为 1 ，所以00.0000(部分积)+00.1101(被乘数) = 00.1101；再向右移一位：00.01101
 - 乘数往前数一位为 1 ，00.01101 + 00.1101 = 01.00111；再向右移一位：00.100111
 - 乘数往前数一位为 0；不需要加上被乘数了，只需右移一位：00.0100111
 -  乘数往前数一位为 1，00.0100111 + 00.1101 = 01.0001111，右移一位：00.10001111
 - 符号可按异或运算得到（同号相乘为正，异号相乘为负），这里是异号，所以符号位是 1
 - 因此[X*Y]原 = 1.10001111；X*Y = -0.10001111

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4.补码一位乘法

1.运算规则：

• 符号位参加运算，运算的数均以补码表示；
• 被乘数一般取双符号位参加运算；
• 乘数可取单符号位；
• 乘数末位增设附加位Yn+1，且初值为0。
• 从低位到高位，依次判断相邻的两位乘数的状态，根据比 较结果按下表操作。
• 最后一步不移位，仅根据Y0与Y1的比较结果作相应的运算

Yn （高位）	Yn+1 （低位）	操作
0	0	部分积右移一位
0	1	部分积加[X]补， 右移一位
1	0	部分积加[-X]补， 右移一位
1	1	部分积右移一位

2.例题

已知X=-0.1101,Y=0.1011,用补码一位乘计算X * Y=?

 [X]补=11.0011，[-X]补=00.1101(用双符号表示)，
 [Y]补=0.10110(用单符号位)， 部分积：00.0000
 
 1. 0.10110(乘数)上 Y4Y5 位上的是1 0，所以部分积加[-X]补，再右移一位：00.01101
 2. 0.10110(乘数)上 Y3Y4 位上的是1 1，所以部分积右移一位：00.001101
 3.  0.10110(乘数)上 Y2Y3 位上的是0 1，所以部分积加[X]补，再右移一位：11.1011001
 4.  0.10110(乘数)上 Y1Y2 位上的是1 0，所以部分积加[-X]补，再右移一位：00.01000001
 5. 0.10110(乘数)上 Y0Y1 位上的是0 1，所以部分积加[X]补，最后一步不移位：11.01110001
 6. 所以[X*Y]补 = 1.01110001，X*Y = -0.10001111