图解排序算法(三)之堆排序
堆排序
堆排序是利用堆这种数据结构而设计的一种排序算法，堆排序是一种选择排序，它的最坏，最好，平均时间复杂度均为O(nlogn)，它也是不稳定排序。首先简单了解下堆结构。
堆
堆是具有以下性质的完全二叉树：每个结点的值都大于或等于其左右孩子结点的值，称为大顶堆；或者每个结点的值都小于或等于其左右孩子结点的值，称为小顶堆。如下图：
堆；或者每个结点的值都小于或等于其左右孩子结点的值，称为小顶堆。如下图：
堆
同时，我们对堆中的结点按层进行编号，将这种逻辑结构映射到数组中就是下面这个样子
按层编号
该数组从逻辑上讲就是一个堆结构，我们用简单的公式来描述一下堆的定义就是：
大顶堆：arr[i] >= arr[2i+1] && arr[i] >= arr[2i+2]
小顶堆：arr[i] <= arr[2i+1] && arr[i] <= arr[2i+2]
ok，了解了这些定义。接下来，我们来看看堆排序的基本思想及基本步骤：
堆排序基本思想及步骤
堆排序的基本思想是：将待排序序列构造成一个大顶堆，此时，整个序列的最大值就是堆顶的根节点。将其与末尾元素进行交换，此时末尾就为最大值。然后将剩余n-1个元素重新构造成一个堆，这样会得到n个元素的次小值。如此反复执行，便能得到一个有序序列了
步骤一 构造初始堆。将给定无序序列构造成一个大顶堆（一般升序采用大顶堆，降序采用小顶堆)。
1.假设给定无序序列结构如下
无序序列结构
2.此时我们从最后一个非叶子结点开始（叶结点自然不用调整，第一个非叶子结点 arr.length/2-1=5/2-1=1，也就是下面的6结点），从左至右，从下至上进行调整。
image
3.找到第二个非叶节点4，由于[4,9,8]中9元素最大，4和9交换。
image
这时，交换导致了子根[4,5,6]结构混乱，继续调整，[4,5,6]中6最大，交换4和6。
image
此时，我们就将一个无需序列构造成了一个大顶堆。
步骤二 将堆顶元素与末尾元素进行交换，使末尾元素最大。然后继续调整堆，再将堆顶元素与末尾元素交换，得到第二大元素。如此反复进行交换、重建、交换。
a.将堆顶元素9和末尾元素4进行交换
调整结构，使其继续满足堆定义
image
c.再将堆顶元素8与末尾元素5进行交换，得到第二大元素8.
后续过程，继续进行调整，交换，如此反复进行，最终使得整个序列有序
再简单总结下堆排序的基本思路：
a.将无需序列构建成一个堆，根据升序降序需求选择大顶堆或小顶堆;
b.将堆顶元素与末尾元素交换，将最大元素"沉"到数组末端;
c.重新调整结构，使其满足堆定义，然后继续交换堆顶元素与当前末尾元素，反复执行调整+交换步骤，直到整个序列有序。
代码实现
package com.smart.algorithm.sort;
import java.util.Arrays;
/**
* Created by fc.w on 2017/10/29.
*/
public class HeapSort5 {
public static void main(String[] args) {
int []arr = {4,2,7,6,1,9,3,8,5};
sort(arr);
System.out.println(Arrays.toString(arr));
}
public static void sort(int[] arr) {
for (int i = 0; i < arr.length; i++) {
// 从最后一个非叶子节点从左到右，从下到上调整结构
createHeap(arr, arr.length - i - 1);
// 将堆顶元素与末尾元素交换位置
swap(arr, 0, arr.length - i - 1);
}
}
/**
* 构建堆
* @param arr
* @param lastIndex
*/
public static void createHeap(int[] arr, int lastIndex) {
for (int i = (arr.length / 2) - 1; i >= 0; i--) {
// 非叶子节点下标
int t = i;
while ((t * 2 + 1) <= lastIndex) {
int bigIndex = t * 2 + 1;
if (bigIndex < lastIndex) {
if (arr[bigIndex] < arr[bigIndex + 1]) {
bigIndex++;
}
}
if (arr[bigIndex] > arr[t]) {
// 交换非叶子节点元素的位置
swap(arr, bigIndex, t);
// 将元素下标赋值，便于之后的非叶子节点调整树结构
t = bigIndex;
} else {
break;
}
}
}
}
/**
* 交换元素位置
* @param arr
* @param i
* @param j
*/
public static void swap(int[] arr, int i, int j) {
int temp = arr[i];
arr[i] = arr[j];
arr[j] = temp;
}
}结果
[1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9]总结
堆排序是一种选择排序，整体主要由构建初始堆+交换堆顶元素和末尾元素并重建堆两部分组成。其中构建初始堆经推导复杂度为O(n)，在交换并重建堆的过程中，需交换n-1次，而重建堆的过程中，根据完全二叉树的性质，[log2(n-1),log2(n-2)...1]逐步递减，近似为nlogn。所以堆排序时间复杂度一般认为就是O(nlogn)级。
参考资料
［1］From 图解排序算法(三)之堆排序
上一篇： 第 14 章 程序员常用 10 种算法