欢迎您访问程序员文章站本站旨在为大家提供分享程序员计算机编程知识!
您现在的位置是: 首页

浅谈从斐波那契数列开始了解尾部递归

程序员文章站 2022-06-06 17:12:20
...

 

递归分为:不动点组合子,尾部递归还有递归数据,目前 我只研究到尾部递归 

 

再了解递归前我们先了解一下什么是斐波那契数列?

所谓Fibonacci数列是指这样一种数列,它的前两项均为1,从第三项开始各项均为前两项之和。用数学公式表示出来就是:

           1                            (n=1,2)

fib(n)=

 

           fib(n-1)+fib(n-2)     (n>2)

 

例如:

有这样一组数列:0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, ...

特别指出:第0项是0,第1项是第一个1。

这个数列从第二项开始,每一项都等于前两项之和。

所以它的公式应该是:a1=1,a2=2,an=a(n-1)+a(n-2)(n>=3)

 

其它信息各位可以百度看一下

http://baike.baidu.com/link?url=F-D2_4R1w5gCz5uFcR2drVZAMFQm2g22HYyXkj01u-5DFRrh9owiOdtr982VyreQ

 

 

尾递归(tail recursive),看名字就知道是某种形式的递归。简单的说递归就是函数自己调用自己。那尾递归和递归之间的差别就只能体现在参数上了。

维基百简直是如下解释的:

尾部递归[编辑]

尾部递归是指递归函数在调用自身后直接传回其值,而不对其再加运算。尾部递归与循环是等价的,而且在一些语言(如Scheme中)可以被优化为循环指令。 因此,在这些语言中尾部递归不会占用调用堆栈空间。以下Scheme程序同样计算一个数字的阶乘,但是使用尾部递归[4]

 

尾递归解释如下:

尾部递归是一种编程技巧。递归函数是指一些会在函数内调用自己的函数,如果在递归函数中,递归调用返回的结果总被直接返回,则称为尾部递归。尾部递归的函数有助将算法转化成函数编程语言,而且从编译器角度来说,亦容易优化成为普通循环。这是因为从电脑的基本面来说,所有的循环都是利用重复移跳到代码的开头来实现的。如果有尾部归递,就只需要叠套一个堆栈,因为电脑只需要将函数的参数改变再重新调用一次。利用尾部递归最主要的目的是要优化,例如在Scheme语言中,明确规定必须针对尾部递归作优化。可见尾部递归的作用,是非常依赖于具体实现的。

 

我们还是从简单的斐波那契开始了解尾递归吧。

 

用普通的递归计算Fibonacci数列:

 

 

#include "stdio.h"
#include "math.h"

int factorial(int n);

int main(void)
{
    int i, n, rs;

    printf("请输入斐波那契数n:");
    scanf("%d",&n);

    rs = factorial(n);
    printf("%d \n", rs);

    return 0;
}

// 递归
int factorial(int n)
{
    if(n <= 2)
    {
        return 1;
    }
    else
    {
        return factorial(n-1) + factorial(n-2);
    }
}

 程序员运行结果如下:

 

 

 

请输入斐波那契数n:20
6765

Process returned 0 (0x0)   execution time : 3.502 s
Press any key to continue.

下面我们看看如何用尾递归实现斐波那契数。

 

 

 

#include "stdio.h"
#include "math.h"

int factorial(int n);

int main(void)
{
    int i, n, rs;

    printf("请输入斐波那契数n:");
    scanf("%d",&n);

    rs = factorial_tail(n, 1, 1);
    printf("%d ", rs);

    return 0;
}

int factorial_tail(int n,int acc1,int acc2)
{
    if (n < 2)
    {
        return acc1;
    }
    else
    {
        return factorial_tail(n-1,acc2,acc1+acc2);
    }
}

 程序员运行结果如下:

 

 

请输入斐波那契数n:20
6765
Process returned 0 (0x0)   execution time : 1.460 s
Press any key to continue.

 快了一倍有多。当然这是不完全统计,有兴趣的话可以自行计算大规模的值,这里只是介绍尾递归而已。

 

 

我们可以打印一下程序的执行过程,函数加入下面的打印语句:

 

 

int factorial_tail(int n,int acc1,int acc2)
{
    if (n < 2)
    {
        return acc1;
    }
    else
    {
        printf("factorial_tail(%d, %d, %d) \n",n-1,acc2,acc1+acc2);
        return factorial_tail(n-1,acc2,acc1+acc2);
    }
}

 程序运行结果:

 

 

 

请输入斐波那契数n:10
factorial_tail(9, 1, 2)
factorial_tail(8, 2, 3)
factorial_tail(7, 3, 5)
factorial_tail(6, 5, 8)
factorial_tail(5, 8, 13)
factorial_tail(4, 13, 21)
factorial_tail(3, 21, 34)
factorial_tail(2, 34, 55)
factorial_tail(1, 55, 89)
55
Process returned 0 (0x0)   execution time : 1.393 s
Press any key to continue.

 从上面的调试就可以很清晰地看出尾递归的计算过程了。acc1就是第n个数,而acc2就是第n与第n+1个数的和,这就是我们前面讲到的“迭代”的精髓,计算结果参与到下一次的计算,从而减少很多重复计算量。

 

fibonacci(n-1,acc2,acc1+acc2)将原本朴素的递归产生的栈的层次像二叉树一样,以指数级增长,但是现在栈的层次却像是数组,变成线性增长了,实在是奇妙,总结起来也很简单,原本栈是先扩展开,然后边收拢边计算结果,现在却变成在调用自身的同时通过参数来计算。