浅谈从斐波那契数列开始了解尾部递归
递归分为:不动点组合子,尾部递归还有递归数据,目前 我只研究到尾部递归
再了解递归前我们先了解一下什么是斐波那契数列?
所谓Fibonacci数列是指这样一种数列,它的前两项均为1,从第三项开始各项均为前两项之和。用数学公式表示出来就是:
1 (n=1,2)
fib(n)=
fib(n-1)+fib(n-2) (n>2)
例如:
有这样一组数列:0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, ...
特别指出:第0项是0,第1项是第一个1。
这个数列从第二项开始,每一项都等于前两项之和。
所以它的公式应该是:a1=1,a2=2,an=a(n-1)+a(n-2)(n>=3)
其它信息各位可以百度看一下
http://baike.baidu.com/link?url=F-D2_4R1w5gCz5uFcR2drVZAMFQm2g22HYyXkj01u-5DFRrh9owiOdtr982VyreQ
尾递归(tail recursive),看名字就知道是某种形式的递归。简单的说递归就是函数自己调用自己。那尾递归和递归之间的差别就只能体现在参数上了。
维基百简直是如下解释的:
尾部递归[编辑]
尾部递归是指递归函数在调用自身后直接传回其值,而不对其再加运算。尾部递归与循环是等价的,而且在一些语言(如Scheme中)可以被优化为循环指令。 因此,在这些语言中尾部递归不会占用调用堆栈空间。以下Scheme程序同样计算一个数字的阶乘,但是使用尾部递归:[4]
尾递归解释如下:
尾部递归是一种编程技巧。递归函数是指一些会在函数内调用自己的函数,如果在递归函数中,递归调用返回的结果总被直接返回,则称为尾部递归。尾部递归的函数有助将算法转化成函数编程语言,而且从编译器角度来说,亦容易优化成为普通循环。这是因为从电脑的基本面来说,所有的循环都是利用重复移跳到代码的开头来实现的。如果有尾部归递,就只需要叠套一个堆栈,因为电脑只需要将函数的参数改变再重新调用一次。利用尾部递归最主要的目的是要优化,例如在Scheme语言中,明确规定必须针对尾部递归作优化。可见尾部递归的作用,是非常依赖于具体实现的。
我们还是从简单的斐波那契开始了解尾递归吧。
用普通的递归计算Fibonacci数列:
#include "stdio.h" #include "math.h" int factorial(int n); int main(void) { int i, n, rs; printf("请输入斐波那契数n:"); scanf("%d",&n); rs = factorial(n); printf("%d \n", rs); return 0; } // 递归 int factorial(int n) { if(n <= 2) { return 1; } else { return factorial(n-1) + factorial(n-2); } }
程序员运行结果如下:
请输入斐波那契数n:20 6765 Process returned 0 (0x0) execution time : 3.502 s Press any key to continue.
下面我们看看如何用尾递归实现斐波那契数。
#include "stdio.h" #include "math.h" int factorial(int n); int main(void) { int i, n, rs; printf("请输入斐波那契数n:"); scanf("%d",&n); rs = factorial_tail(n, 1, 1); printf("%d ", rs); return 0; } int factorial_tail(int n,int acc1,int acc2) { if (n < 2) { return acc1; } else { return factorial_tail(n-1,acc2,acc1+acc2); } }
程序员运行结果如下:
请输入斐波那契数n:20 6765 Process returned 0 (0x0) execution time : 1.460 s Press any key to continue.
快了一倍有多。当然这是不完全统计,有兴趣的话可以自行计算大规模的值,这里只是介绍尾递归而已。
我们可以打印一下程序的执行过程,函数加入下面的打印语句:
int factorial_tail(int n,int acc1,int acc2) { if (n < 2) { return acc1; } else { printf("factorial_tail(%d, %d, %d) \n",n-1,acc2,acc1+acc2); return factorial_tail(n-1,acc2,acc1+acc2); } }
程序运行结果:
请输入斐波那契数n:10 factorial_tail(9, 1, 2) factorial_tail(8, 2, 3) factorial_tail(7, 3, 5) factorial_tail(6, 5, 8) factorial_tail(5, 8, 13) factorial_tail(4, 13, 21) factorial_tail(3, 21, 34) factorial_tail(2, 34, 55) factorial_tail(1, 55, 89) 55 Process returned 0 (0x0) execution time : 1.393 s Press any key to continue.
从上面的调试就可以很清晰地看出尾递归的计算过程了。acc1就是第n个数,而acc2就是第n与第n+1个数的和,这就是我们前面讲到的“迭代”的精髓,计算结果参与到下一次的计算,从而减少很多重复计算量。
fibonacci(n-1,acc2,acc1+acc2)将原本朴素的递归产生的栈的层次像二叉树一样,以指数级增长,但是现在栈的层次却像是数组,变成线性增长了,实在是奇妙,总结起来也很简单,原本栈是先扩展开,然后边收拢边计算结果,现在却变成在调用自身的同时通过参数来计算。
上一篇: 浅谈从斐波那契数列开始了解尾部递归
下一篇: CI去掉URL中的INDEX.PHP