python深度学习第三讲——用python写神经网络梯度下降(手写字符识别mnist)
机器学习使用训练数据进行学习。使用训练数据进行学习,严格来说,就是针对训练数据计算损失函数的值,找出使该值尽可能小的参数。因此,计算损失函数时必须将所有的训练数据作为对象。也就是说,如果训练数据有100个的话,我们就要把这100个损失函数的总和作为学习的指标。
果要求所有训练数据的损失函数的总和,以交叉熵误差为例,可以写成:
通过除以N,可以求单个数据的“平均损失函数”。通过这样的平均化,可以获得和训练数据的数量无关的统一指标。比如,即便训练数据有1000个或10000个,也可以求得单个数据的平均损失函数。
所谓mini-batch学习,就是从训练数据中随机选择一部分数据(称为mini-batch),再以这些mini-batch为对象,使用梯度法更新参数的过程。
神经网络的学习分成下面4个步骤。
步骤1(mini-batch)
从训练数据中随机选出一部分数据,这部分数据称为mini-batch。我们
的目标是减小mini-batch的损失函数的值。
步骤2(计算梯度)
为了减小mini-batch的损失函数的值,需要求出各个权重参数的梯度。
梯度表示损失函数的值减小最多的方向。
步骤3(更新参数)
将权重参数沿梯度方向进行微小更新。
步骤4(重复)
重复步骤1、步骤2、步骤3。
神经网络的学习按照上面4个步骤进行。这个方法通过梯度下降法更新参数,不过因为这里使用的数据是随机选择的mini batch数据,所以又称为随机梯度下降法(stochastic gradient descent)。“随机”指的是“随机选择的”的意思,因此,随机梯度下降法是“对随机选择的数据进行的梯度下降法”。深度学习的很多框架中,随机梯度下降法一般由一个名为SGD的函数来实现。SGD来源于随机梯度下降法的英文名称的首字母。
下面,我们来实现手写数字识别的神经网络。这里以2层神经网络(隐藏层为1层的网络)为对象,使用MNIST数据集进行学习。
# coding: utf-8
import sys, os
sys.path.append(os.pardir) # 为了导入父目录的文件而进行的设定
from common.functions import *
from common.gradient import numerical_gradient
class TwoLayerNet:
def __init__(self, input_size, hidden_size, output_size, weight_init_std=0.01):
# 初始化权重
self.params = {}
self.params['W1'] = weight_init_std * np.random.randn(input_size, hidden_size)
self.params['b1'] = np.zeros(hidden_size)
self.params['W2'] = weight_init_std * np.random.randn(hidden_size, output_size)
self.params['b2'] = np.zeros(output_size)
def predict(self, x):
W1, W2 = self.params['W1'], self.params['W2']
b1, b2 = self.params['b1'], self.params['b2']
a1 = np.dot(x, W1) + b1
z1 = sigmoid(a1)
a2 = np.dot(z1, W2) + b2
y = softmax(a2)
return y
# x:输入数据, t:监督数据
def loss(self, x, t):
y = self.predict(x)
return cross_entropy_error(y, t)
def accuracy(self, x, t):
y = self.predict(x)
y = np.argmax(y, axis=1)
t = np.argmax(t, axis=1)
accuracy = np.sum(y == t) / float(x.shape[0])
return accuracy
# x:输入数据, t:监督数据
def numerical_gradient(self, x, t):
loss_W = lambda W: self.loss(x, t)
grads = {}
grads['W1'] = numerical_gradient(loss_W, self.params['W1'])
grads['b1'] = numerical_gradient(loss_W, self.params['b1'])
grads['W2'] = numerical_gradient(loss_W, self.params['W2'])
grads['b2'] = numerical_gradient(loss_W, self.params['b2'])
return grads
def gradient(self, x, t):
W1, W2 = self.params['W1'], self.params['W2']
b1, b2 = self.params['b1'], self.params['b2']
grads = {}
batch_num = x.shape[0]
# forward
a1 = np.dot(x, W1) + b1
z1 = sigmoid(a1)
a2 = np.dot(z1, W2) + b2
y = softmax(a2)
# backward
dy = (y - t) / batch_num
grads['W2'] = np.dot(z1.T, dy)
grads['b2'] = np.sum(dy, axis=0)
da1 = np.dot(dy, W2.T)
dz1 = sigmoid_grad(a1) * da1
grads['W1'] = np.dot(x.T, dz1)
grads['b1'] = np.sum(dz1, axis=0)
return grads
mini-batch实现:
# coding: utf-8
import sys, os
sys.path.append(os.pardir) # 为了导入父目录的文件而进行的设定
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from dataset.mnist import load_mnist
from two_layer_net import TwoLayerNet
# 读入数据
(x_train, t_train), (x_test, t_test) = load_mnist(normalize=True, one_hot_label=True)
network = TwoLayerNet(input_size=784, hidden_size=50, output_size=10)
iters_num = 10000 # 适当设定循环的次数
train_size = x_train.shape[0]
batch_size = 100
learning_rate = 0.1
train_loss_list = []
train_acc_list = []
test_acc_list = []
iter_per_epoch = max(train_size / batch_size, 1)
for i in range(iters_num):
batch_mask = np.random.choice(train_size, batch_size)
x_batch = x_train[batch_mask]
t_batch = t_train[batch_mask]
# 计算梯度
#grad = network.numerical_gradient(x_batch, t_batch)
grad = network.gradient(x_batch, t_batch)
# 更新参数
for key in ('W1', 'b1', 'W2', 'b2'):
network.params[key] -= learning_rate * grad[key]
loss = network.loss(x_batch, t_batch)
train_loss_list.append(loss)
if i % iter_per_epoch == 0:
train_acc = network.accuracy(x_train, t_train)
test_acc = network.accuracy(x_test, t_test)
train_acc_list.append(train_acc)
test_acc_list.append(test_acc)
print("train acc, test acc | " + str(train_acc) + ", " + str(test_acc))
# 绘制图形
markers = {'train': 'o', 'test': 's'}
x = np.arange(len(train_acc_list))
plt.plot(x, train_acc_list, label='train acc')
plt.plot(x, test_acc_list, label='test acc', linestyle='--')
plt.xlabel("epochs")
plt.ylabel("accuracy")
plt.ylim(0, 1.0)
plt.legend(loc='lower right')
plt.show()
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