四顶点校正透视变换的线性方程解（转载）

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设计给了两张图，一张俯视图a，一张侧视图b，要把a上的点映射到b上，b上的点映射到a上。怎么做?

只有两张图

我们可以通过工具，获取每张图4个顶点的坐标，坐标之间必然存在映射关系，pa = f(pb)，用矩阵表示，pa = m*pa。我们要求m。m用3*3的矩阵。

参考：

透视变换（perspective transformation）用于解决仿射变换（affine transformation）无法改变形状内部的相对位置关系的问题。类似photoshop中的“*变换”功能，或者gimp中的“透视”功能，都可以用透视变换矩阵来实现。

现在给定2个四边形：poly1={{x1, y1}, {x2, y2}, {x3, y3}, {x4, y4}}、poly2={{u1, v1}, {u2, v2}, {u3, v3}, {u4, v4}}，求做一个透视变换matrix，满足poly1的点能够变形（warp）到poly2中的点。

透视变换矩阵的形式为：

显然，我们需要求解的只是矩阵中8个未知量；已知量包括四边形的4个顶点 x 2个坐标(x, y)，一共是8个方程，数量刚刚好。对于每个顶点坐标，poly1中的点总是通过下面的方程转换到poly2中：

问题的关键在于，上面的公式需要求解非线性方程。因此，在解决homography的问题上，常常用最小二乘法（least squares）求得参数估计。

其实稍加分析就不难发现，上面那个使用了分式的所谓“非线性方程”，实际上可以变形为：

它居然变成了线性方程！看来一切试图用newton迭代的算法都是没有必要的，因为我们可以用最简单的线性代数来解决：

下面是我用matlab计算的代码，mat就是我们要求的矩阵，顺便把mat的逆矩阵mat2也求出来，逆变换也有了。

没有matlab也没关系，运算不难，矩阵运算的库也不难找。

u1 = 0;
v1 = 0;
u2 = 1000;
v2 = 0;
u3 = 1000;
v3 = 1000;
u4 = 0;
v4 = 1000;
x1 = -375;
y1 = 510;
x2 = 254;
y2 = 152;
x3 = 1134;
y3 = 304;
x4 = 782;
y4 = 828;

a = [
    x1, y1, 1,  0,  0,  0,  -x1*u1, -y1*u1;
    0,  0,  0,  x1, y1, 1,  -x1*v1, -y1*v1;
    x2, y2, 1,  0,  0,  0,  -x2*u2, -y2*u2;
    0,  0,  0,  x2, y2, 1,  -x2*v2, -y2*v2;
    x3, y3, 1,  0,  0,  0,  -x3*u3, -y3*u3;
    0,  0,  0,  x3, y3, 1,  -x3*v3, -y3*v3;
    x4, y4, 1,  0,  0,  0,  -x4*u4, -y4*u4;
    0,  0,  0,  x4, y4, 1,  -x4*v4, -y4*v4
    ];
u = [u1,v1,u2,v2,u3,v3,u4,v4]';
m = a\u;

mat = [m(1),m(2),m(3);m(4),m(5),m(6);m(7),m(8),1];
mat2 = inv(mat);

最后求出来结果是

mat =

         0.622681800333835         -2.26554353140329          1388.93287614087
          1.22602742955981          2.15410964579083         -638.835633268398
      1.38327614714492e-06       0.00133144792441439                         1
      
      
mat2 =

         0.434597104229077          0.59516884730679         -223.411138468529
        -0.177460145184904        0.0897866610409582            303.8391483172
      0.000235677774164818     -0.000120369546353085         0.595763035916078

可以用mat*[x1,y1,1]来验证结果的正确性。

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c#求解方法（应用math.net库）

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            double u1 = penvelope.minx;
            double v1 = penvelope.miny;
            double u2 = penvelope.maxx;
            double v2 = penvelope.miny;
            double u3 = penvelope.maxx;
            double v3 = penvelope.maxy;
            double u4 = penvelope.minx;
            double v4 = penvelope.maxy;
            double x1 = results[0][0];
            double y1 = results[0][1];
            double x2 = results[1][0];
            double y2 = results[1][1];
            double x3 = results[2][0];
            double y3 = results[2][1];
            double x4 = results[3][0];
            double y4 = results[3][1];
            //            
            double[,] x =
            {
                    { x1, y1, 1,  0,  0,  0,  -x1*u1, -y1*u1 },
                    { 0,  0,  0,  x1, y1, 1,  -x1 * v1, -y1 * v1},
                    { x2, y2, 1,  0,  0,  0,  -x2 * u2, -y2 * u2},
                    { 0,  0,  0,  x2, y2, 1,  -x2 * v2, -y2 * v2},
                    { x3, y3, 1,  0,  0,  0,  -x3 * u3, -y3 * u3},
                    { 0,  0,  0,  x3, y3, 1,  -x3 * v3, -y3 * v3},
                    { x4, y4, 1,  0,  0,  0,  -x4 * u4, -y4 * u4},
                    { 0,  0,  0,  x4, y4, 1,  -x4 * v4, -y4 * v4}
                };
            var matrixx = densematrix.ofarray(x);
            var vectorb = new densevector(new[] { u1, v1, u2, v2, u3, v3, u4, v4 });
            var resultx = new densevector(8);
            matrixx.gramschmidt().solve(vectorb, resultx);
            //验证
            //console.writeline(x1 + ",  " + y1 + ",  " + x2 + ",  " + y2 + ",  " + x3 + ",  " + y3 + ",  " + x4 + ",  " + y4);
            //console.writeline(u1 + ",  " + v1 + ",  " + u2 + ",  " + v2 + ",  " + u3 + ",  " + v3 + ",  " + u4 + ",  " + v4);            
            //console.writeline(resultx);
            //var u = (resultx[0] * x1 + resultx[1] * y1 + resultx[2]) / (resultx[6] * x1 + resultx[7] * y1 + 1);
            //console.writeline(u1 + "   " + u);
            double[] result = new double[] { resultx[0], resultx[1], resultx[2], resultx[3], resultx[4], resultx[5], resultx[6], resultx[7], 1 };