牛客 数码（枚举优化+数论思维）

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题面

给定两个整数$l$和$r$，对于所有满足$1 ≤ l ≤ x ≤ r ≤ 10^9$ 的$x$ ，把$x$的所有约数全部写下来。对于每个写下来的数，只保留最高位的那个数码。求$1-9$每个数码出现的次数。

分析

首先数据范围很大，问题可以转化为求$1-(l-1)$和$1-r$的数码之差。肯定不能暴力求每个数的因数。首先$1-n$的因数最多有$2\sqrt{n}$个，且会沿$\sqrt{n}$两边对称分步且成对出现。设$x=a*b$，考虑枚举$1-\sqrt{n}$范围内的因数$a$，不难计算出$b$的取值范围$[1,⌊\frac{r}{a}⌋]$，举几个例子后不难发现只需要考虑几位数以及最高位是几，那么就枚举最高位和不超过$b$的位数，当然得出的区间应该是$[a+1,b]$的子区间，需要判断一下上下界的越界，之所以从$a+1$开始是为了防止算$a$重复

最后$a$用了几个就是$b-a+1$

讲解参考了牛客精讲

#include <set>
#include <map>
#include <stack>
#include <queue>
#include <math.h>
#include <cstdio>
#include <string>
#include <bitset>
#include <cstring>
#include <sstream>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <unordered_map>
using namespace std;
#define fi first
#define se second
#define pb push_back
#define ins insert
#define Vector Point
#define lowbit(x) (x&(-x))
#define mkp(x,y) make_pair(x,y)
#define mem(a,x) memset(a,x,sizeof a);
typedef long long ll;
typedef long double ld;
typedef unsigned long long ull;
typedef pair<int,int> pii;
typedef pair<double,double> pdd;
const double eps=1e-8;
const double pi=acos(-1.0);
const int inf=0x3f3f3f3f;
const double dinf=1e300;
const ll INF=1e18;
const int Mod=998244353;
const int maxn=2e5+10;

ll n,k;
ll num[20];

int solve(int x){
    while(x>=10) x/=10;
    return x;
}

void cal(int n,int s){
    for(int i=1;i*i<=n;i++){
        int y=n/i;
        for(int j=1;j<=n;j*=10)
            for(int k=1;k<=9;k++){
                int d=max(j*k,i+1);
                int u=min((k+1)*j-1,y);
                if(d<=u) num[k]+=(u-d+1)*s;
            }
        num[solve(i)]+=(y-i+1)*s;
    }
}

int main(){
    //freopen("in.txt","r",stdin);
    //freopen("out.txt","w",stdout);
    ios::sync_with_stdio(0),cin.tie(0),cout.tie(0);
    int l,r;
    cin>>l>>r;
    cal(r,1);
    cal(l-1,-1);
    for(int i=1;i<=9;i++) cout<<num[i]<<endl;
    return 0;
}

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