【Educational Codeforces Round 80（div2）】E-Messenger Simulator （树状数组）

一、题目链接

https://codeforces.com/contest/1288/problem/E

二、题意

读入整数n、m以及m次操作。

起初，数列中为整数1~n按升序排列，对应位置1~n。每次操作读入$a_i$ai​，将数列中的$a_i$ai​移动到数列最前面，更新数列内所有数位置。求执行完所有操作后，1~n每个整数在操作过程中位置的最大值和最小值。

三、数据范围

1 ≤ n, m ≤ 3 * $10^5$105

1 ≤ $a_i$ai​ ≤ n

四、解题思路

首先，对每次操作，暴力循环更新位置肯定是行不通的。如何对这一步进行优化？

怎么把指定数字向前移动？

很容易想到在原数列前增加m个空位，每次操作把$a_i$ai​从后往前放到那m个空位里，更新$a_i$ai​的最小位置为1，把$a_i$ai​原位置清除。

怎么更新其他数字的位置？

没有被操作的数不必移动。开一个长m+n的数列e，把有元素的位置记为1，没有元素的位置记为0，（初始e[1]~e[m]=0，e[m+1]~e[m+n]=1）每次操作进行两个修改：原位置变成0，新位置变成1，那么每个数的位置其实就是求该位置前有多少个”1“，即该位置的前缀和。

怎么快捷地修改、查询前缀和？

树状数组。:happy: （←这是俺新学的Typora表达式~）​

二进制索引数，可以在O($log_n$logn​)时间轻松搞定~~其存储思路如下：

（百度百科偷的图，A为需要求前缀和的数列，C为树状数组的储存思路）

代码中，lowbit、add、sum函数均源于树状数组模板，在此不做赘述。

五、AC代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int MAXN = 7e5 + 10; //是m+n，maxn要开两倍！！！
 
int n, m, pos[MAXN], e[MAXN], maxx[MAXN], minx[MAXN];
 
int lowbit(int x) //x的二进制表达式中最低位的1所对应的值
{
    return x & (-x);
}
int add(int x, int v) //修改前缀和
{
    while(x < MAXN)
    {
        e[x] += v;
        x += lowbit(x);
    }
}
int sum(int x) //查询前缀和
{
    int re = 0;
    while(x > 0)
    {
        re += e[x];
        x -= lowbit(x);
    }
    return re;
}
int main()
{
    cin >> n >> m;
    for (int i = 1; i <= n; i++) //初始化
    {
        pos[i] = i + m; //在数列前腾出m个空格，所以位置暂时往后移m个
        add(pos[i], 1); //此位置上元素+1
        maxx[i] = i;  //初始化i的最大、最小位置
        minx[i] = i;
    }
    for (int i = 1; i <= m; i++)
    {
        int x;
        cin >> x;
        maxx[x] = max(maxx[x], sum(pos[x])); //更新位置最大值
        minx[x] = 1; //更新位置最小值
        add(pos[x], -1); //删除原位置上的数
        pos[x] = m - i + 1; //把x放到前面的空格中
        add(pos[x], 1); //新位置上元素+1
    }
    for (int i = 1; i <= n; i++)
    {
        maxx[i] = max(maxx[i], sum(pos[i])); 
        //操作中没有移动的数位置肯定越来越大，所以在所有结束后统一更新
        cout << minx[i] << ' ' << maxx[i] << endl;
    }
    return 0;
}