62. Unique Paths

本题为动态规划问题，共有三种解决方法：

二元数组
一元数组

数学公式

return math.factorial(m+n-2)/math.factorial(m-1)/math.factorial(n-1)

采用二维数组

保存到达每一个位置所有可能的路径个数；

在数组中可以寻找到规律：

初始化上边和左边为全1；其他位置的元素=上面+左面；最后返回右下角的元素作为最终结果。

时间复杂度：O(n^2)；空间复杂度：o(m*n)

一元数组

由于使用二元数组的过程中，更新dp[i][j]只用到了数组中本列dp[:][j]和前一列dp[:][j-1](或者本行和前一行)的数据，所以不需要保存整个m*n数组，只需要保存这两列即可。

又因为本列就是前一列更新之后的数据，所以可以只采用一个列向量，直接对这个列向量进行更新。

时间复杂度：O(n^2)；空间复杂度：o(m)或者o(n)

完整代码

class Solution(object):
    def uniquePaths(self, m, n):
        """
        :type m: int
        :type n: int
        :rtype: int     

#使用一元数组
        dp=[1 for _ in xrange(n)]
        for i in xrange(1,m):
            for j in xrange(1,n):
                dp[j]+=dp[j-1]
        return dp[-1]

        #使用二元数组        

        dp=[[1 for _ in xrange(m)]for _ in xrange(n)]
        for i in xrange(1,n):    #注意：xrange()的终止条件是到n-1时结束
            for j in xrange(1,m):
                dp[i][j]=dp[i-1][j]+dp[i][j-1]
        return dp[-1][-1]