强势 图解 AC自动机(保证您一次就能学会!)
前置技能
简介
看dalao们AC自动机的Blog,大多数奆奆都会感性地说:
AC_automation = KMP+TRIE
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然而在作者重蹈覆辙辗转反侧n次后才明白,这东西说了等于没说。
- AC自动机是一种有限状态自动机(说了等于没说),它常被用于多模式串的字符串匹配。
- 在学完AC自动机,笔者也总结出一句说了等于没说的话: AC自动机是以TRIE的结构为基础,结合KMP的思想建立的。
建立AC自动机
建立一个AC自动机通常需要两个步骤:
- 基础的TRIE结构:将所有的模式串构成一棵Trie。
- KMP的思想:对Trie树上所有的结点构造失配指针。
然后就可以利用它进行多模式匹配了。
TRIE构建
- 和trie的insert操作一模一样(强调!一模一样!)
- 因为我们只利用TRIE的结构,所以只需将模式串存入即可。
构造失配( failfailfail )指针
在讲构造以前,先来对比一下这里的 failfailfail 指针与KMP中的next指针:
- 共同点-两者同样是在失配的时候用于跳转的指针。
- 不同点-KMP要求的是最长相同真前后缀,而AC自动机只需要相同后缀即可。
- 因为KMP只对一个模式串做匹配,而AC自动机要对多个模式串做匹配。
- 有可能 failfailfail 指针指向的结点对应着另一个模式串,两者前缀不同。
- 也就是说,AC自动机在对匹配串做逐位匹配时,同一位上可能匹配多个模式串。
- 因此 failfailfail 指针会在字典树上的结点来回穿梭,而不像KMP在线性结构上跳转。
下面介绍构建 failfailfail 指针的基础思想:(强调!基础思想!基础!)
- 构建 failfailfail 指针,可以参考KMP中构造next数组的思想。
- 我们利用部分已经求出 failfailfail 指针的结点推导出当前结点的 failfailfail 指针。具体我们用BFS实现:
- 考虑字典树中当前的节点u,u的父节点是p,p通过字符c的边指向u。
- 假设深度小于u的所有节点的 failfailfail 指针都已求得。那么p的 failfailfail 指针显然也已求得。
- 我们跳转到p的 failfailfail 指针指向的结点 fail[p]fail[p]fail[p] ;
- 如果结点 fail[p]fail[p]fail[p] 通过字母 ccc 连接到的子结点 www 存在:
- 则让u的fail指针指向这个结点 www ( fail[u]=wfail[u]=wfail[u]=w )。
- 相当于在 ppp 和 fail[p]fail[p]fail[p] 后面加一个字符 ccc ,就构成了 fail[u]fail[u]fail[u] 。
- 如果 fail[p]fail[p]fail[p] 通过字母 ccc 连接到的子结点 www 不存在:
- 那么我们继续找到 fail[fail[p]]fail[fail[p]]fail[fail[p]] 指针指向的结点,重复上述判断过程,一直跳 failfailfail 指针直到根节点。
- 如果真的没有,就令 fail[u]=fail[u]=fail[u]= 根节点。
- 如果结点 fail[p]fail[p]fail[p] 通过字母 ccc 连接到的子结点 www 存在:
- 如此即完成了 failfailfail 指针的构建。
下面放一张GIF帮助大家理解: 对字典树{i,he,his,she,hers}构建 failfailfail 指针:
-
黄色结点表示当前的结点u,绿色结点表示已经BFS遍历完毕的结点,红/橙色的边表示 failfailfail 指针。
-
2号节点的 failfailfail 指针画错了, fail[2]=0fail[2]=0fail[2]=0 .
-
我们重点分析结点6的 failfailfail 指针构建:
-
找到6的父节点5,5的 failfailfail 指针指向10,然而10结点没有字母's'连出的边;
-
所以跳到10的 failfailfail 指针指向的结点0,发现0结点有字母's'连出的边,指向7结点;
-
所以 fail[6]=7fail[6]=7fail[6]=7 .
另外,在构建 failfailfail 指针的同时,我们也对TRIE中模式串的结尾构建 failfailfail 指针。这样在匹配到结尾后能自动跳转到下一个匹配项。具体见代码实现。
从代码深入剖析
框架
const int N=1000; struct AC_automaton{ int tr[N][26],cnt;//TRIE int e[N];//标记这个结点是不是字符串结尾 int fail[N];//fail指针
void insert(char * s){}//插入模式串 void build(){}//构建fail指针 int query(char *t){}//匹配函数
};
AC_automation ac;
}
字典树与字典图
- 关于
insert()
笔者不做分析,先来看build()
:void build(){ queue<int>q; memset(fail,0,sizeof(fail)); for(int i=0;i<26;i++)if(tr[0][i])q.push(tr[0][i]);//Q1 while(!q.empty()){ int k=q.front();q.pop(); for(int i=0;i<26;i++){ if(tr[k][i]){ fail[tr[k][i]]=tr[fail[k]][i];//Q2 q.push(tr[k][i]); } else tr[k][i]=tr[fail[k]][i];//Q3 } } }
首先声明了一个队列用于BFS,并清空 failfailfail 数组。
这里的字典树根节点为0,我们将根节点的子节点一一入队。
- Q1-等等,为什么不将根节点入队,非要将它的子节点入队?
然后开始BFS:
- 每次取出队首的结点k。注意,结点k本身的 failfailfail 指针已经求得,我们要求的是k的子节点们的 failfailfail 指针。
- 然后遍历字符集(这里是0-25,对应a-z):
- 如果字符i对应的子节点存在,我们就将这个子节点的 failfailfail 指针赋值为 fail[k]fail[k]fail[k] 的字符i对应的结点。
- Q2-不是应该用while循环,不停的跳 failfailfail 指针,判断是否存在字符i对应的结点,然后赋值吗?怎么一句话就完了?
- 否则,k结点没有字符i对应的子节点,就将 fail[k]fail[k]fail[k] 的字符i对应的子节点编号赋值给k
- Q3-等等,说好的字典树呢?怎么将 fail[k]fail[k]fail[k] 的子节点直接赋成k的子节点去了?
这三个Questions构成了 failfailfail 指针构建的精髓。
Q1
- 若将根节点入队,则在第一次BFS的时候,会将根节点的子节点的 failfailfail 指针标记为本身。
- 而将根节点的子节点入队,也不影响算法正确性(因为 failfailfail 指针初始化为0)
Q2&Q3
-
Q2与Q3的代码是相辅相成的。
-
简单地来讲,我们将 failfailfail 指针跳转的路径做了压缩(就像并查集的路径压缩),使得本来需要跳很多次 failfailfail 指针变成跳一次。
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而这个路径压缩的就是Q3的代码在做的事情之一。
-
我们将之前的GIF图改一下:
-
蓝色结点表示BFS遍历到的结点k,深蓝色、黑色的边表示执行完Q3代码连出的字典树的边。
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可以发现,众多交错的黑色边将字典树变成了字典图。
-
图中省略了连向根节点的黑边(否则会更乱)。
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我们重点分析一下结点5遍历时的情况:
-
显然,本来应该跳2次才能找到7号结点,但是我们通过10号结点的黑色边直接通过字母s找到了7号结点。
-
因此,Q2结合了Q3的代码,就能在 O(1)O(1)O(1) 的时间内对单个结点构造 failfailfail 指针。
这就是build完成的两件事:构建 failfailfail 指针和建立字典图。这个字典图也会在查询的时候起到关键作用。
多模式匹配
- 接下来分析匹配函数
query()
:int query(char *t){ int p=0,res=0; for(int i=0;t[i];i++){ p=tr[p][t[i]-'a'];//Q for(int j=p;j&&~e[j];j=fail[j])res+=e[j],e[j]=-1; } return res; }
- 声明p作为字典树上当前匹配到的结点,res即返回的答案
- 循环遍历匹配串,p在字典树上跟踪当前字符。
- 利用 failfailfail 指针找出所有匹配的模式串,累加到答案中。然后清0。
- 对 e[j]e[j]e[j] 取反的操作用来判断 e[j]e[j]e[j] 是否等于-1。
- Q-读者可能纳闷了:你这里的p一直在往字典树后面走,没有跳 failfailfail 指针啊!这和KMP的思想不一样啊,怎么匹配得出来啊
Answer to Q
-
还记得刚才的字典图吗?事实上你并不是一直在往后跳,而是在图上穿梭跳动。比如,刚才的字典图:
-
我们从根节点开始尝试匹配
ushersheishis
,那么p的变化将是: -
红色结点表示p结点,粉色箭头表示p在字典图上的跳转,浅蓝色的边表示成功匹配的模式串,深蓝色的结点表示跳 failfailfail 指针时的结点。
-
其中的部分跳转,我们利用的就是新构建的字典图上的边,它也满足后缀相同(sher和her),所以自动跳转到下一个位置。
-
综上, failfailfail 指针的意义是,在匹配串同一个位置失配时的跳转指针,这样就利用 failfailfail 指针在同一位置上进行多模式匹配,匹配完了,就在字典图上自动跳转到下一位置。
总结
到此,你已经理解了整个AC自动机的内容。我们一句话总结AC自动机的运行原理: 构建字典图实现自动跳转,构建失配指针实现多模式匹配。
代码
const int N=1000; struct AC_automaton{ int tr[N][26],cnt;//TRIE int e[N];//标记字符串结尾 int fail[N];//fail指针
void insert(char * s){//插入模式串 int p=0; for(int i=0;s[i];i++){ int k=s[i]-'a'; if(!tr[p][k])tr[p][k]=++cnt; p=tr[p][k]; } e[p]++; } void build(){ queue<int>q; memset(fail,0,sizeof(fail)); for(int i=0;i<26;i++)if(tr[0][i])q.push(tr[0][i]); //首字符入队 //不直接将0入队是为了避免指向自己 while(!q.empty()){ int k=q.front();q.pop();//当前结点 for(int i=0;i<26;i++){ if(tr[k][i]){ fail[tr[k][i]]=tr[fail[k]][i];//构建当前的fail指针 q.push(tr[k][i]);//入队 } else tr[k][i]=tr[fail[k]][i]; //匹配到空字符,则索引到父节点fail指针对应的字符,以供后续指针的构建 //类似并差集的路径压缩,把不存在的tr[k][i]全部指向tr[fail[k]][i] //这句话在后面匹配主串的时候也能帮助跳转 } } } int query(char *t){ int p=0,res=0; for(int i=0;t[i];i++){ p=tr[p][t[i]-'a']; for(int j=p;j&&~e[j];j=fail[j])res+=e[j],e[j]=-1; } return res; }
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