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两圆相交到两球相交

程序员文章站 2022-06-04 08:23:08
...

首先,定义一些东西

const double PI = acos(-1.0);
typedef struct point {
    double x,y;
    point() {
    }
    point(double a, double b) {
        x = a;
        y = b;
    }
    point operator -(const point &b)const {     //返回减去后的新点
        return point(x - b.x, y - b.y);
    }
    point operator +(const point &b)const {     //返回加上后的新点
        return point(x + b.x, y + b.y);
    }
    point operator *(const double &k)const {    //返回相乘后的新点
        return point(x * k, y * k);
    }
    point operator /(const double &k)const {    //返回相除后的新点
        return point(x / k, y / k);
    }
    double operator ^(const point &b)const {    //叉乘
        return x*b.y - y*b.x;
    }
    double operator *(const point &b)const {    //点乘
        return x*b.x + y*b.y;
    }
}point;
typedef struct circle {//圆
    double r;
    point centre;
}circle;

double dist(point p1, point p2) {       //返回平面上两点距离
    return sqrt((p1 - p2)*(p1 - p2));
}

两圆相交到两球相交

  • 两圆相交
    两圆关系,可以根据圆心距离和半径的关系来判断,现在只考虑相交的情况,即圆心距L在两圆半径之和|r1+r2|及两圆半径之差|r1r2|之间。
    如上图所示,已知r1,r2,L那就可以得到很多东西。
    根据勾股定理,可以得到
    r12h12=l12
    r22h12=l22
    L=l1+l2
    联立推出
    h1=r12(L2+r12r222L)2
    h1=r22(L2+r22r122L)2
    h1=h2
  • 有了这个就可以算两圆相交的弧长了,但是需要先算出角度

两圆相交到两球相交
用余弦公式可以算出angleaangleb
cos(anglea)=r12+L2r222Lr1
cos(angleb)=r22+L2r122Lr2
但是实际相交的弧长所对应的圆心角是上述所求角的两倍,所以乘以2。
最后利用弧长公式即可计算两圆相交部分的弧长。
弧长=Pi*对应圆心角(弧度制)

void CircleInterLen(circle a, circle b, double &la, double &lb) {
    double d = dist(a.centre, b.centre);//圆心距
    double t = (d*d + a.r*a.r - b.r*b.r) / (2.0 * d);//
    double h = sqrt((a.r*a.r) - (t*t)) * 2;//h1=h2
    double angle_a = 2 * acos((a.r*a.r + d*d - b.r*b.r) / (2.0 * a.r*d));  
    //余弦公式计算r1对应圆心角,弧度
    double angle_b = 2 * acos((b.r*b.r + d*d - a.r*a.r) / (2.0 * b.r*d));  
    //余弦公式计算r2对应圆心角,弧度
    la = angle_a*a.r;//r1所对应的相交弧长
    lb = angle_b*b.r;//r2所对应的相交弧长
    //double rest_la = 2.0 * PI * a.r - la;//r1圆剩余部分弧长
    //double rest_lb = 2.0 * PI * b.r - lb;//r2圆剩余部分弧长
}

剩下部分的弧长只需要用原来的弧长相减就行。

  • 再看相交部分的面积:

    扇形面积公式:S=lr2(l为弧长,r为半径)=nr22(n为圆心角,弧度制)
    相交部分面积包含扇形减去三角形的面积
    两圆相交到两球相交

void CircleInterArea(circle a, circle b,double &s1,double &s2) {
    double d = dist(a.centre, b.centre);//圆心距
    double t = (d*d + a.r*a.r - b.r*b.r) / (2.0 * d);//
    double h = sqrt((a.r*a.r) - (t*t)) * 2;//h1=h2
    double angle_a = 2 * acos((a.r*a.r + d*d - b.r*b.r) / (2.0 * a.r*d));  
    //余弦公式计算r1对应圆心角,弧度
    double angle_b = 2 * acos((b.r*b.r + d*d - a.r*a.r) / (2.0 * b.r*d));  
    //余弦公式计算r2对应圆心角,弧度
    double la = angle_a*a.r;//r1所对应的相交弧长
    double lb = angle_b*b.r;//r2所对应的相交弧长
    s1 = la*a.r / 2.0 - a.r*a.r*sin(angle_a) / 2.0; //相交部分r1圆的面积
    s2 = lb*b.r / 2.0 - b.r*b.r*sin(angle_b) / 2.0; //相交部分r2圆的面积
    double rest_s1 = PI*a.r*a.r - s1 - s2;//r1圆剩余部分面积,不含相交部分面积
    double rest_s2 = PI*b.r*b.r - s1 - s2;//r1圆剩余部分面积,不含相交部分面积
}

下面考虑两球相交:
两圆相交到两球相交
相交部分如下:
两圆相交到两球相交
但实际上,如果将其投影至平面,还是刚才的样子
两圆相交到两球相交
从上可以知道,相交部分体积是两个球缺的和。
球冠面积S=2πrh
球缺的体积公式为V=πh2(rh3)
h球冠高
r球半径

两球心距离=L 半径分别为r1r2
|r1r2|<L<|r1+r2|
两球相交的截面为平面,相交线为圆半径为r3
截面到球心的距离分别为l1l2
l1+l2=L
L直线过相交圆心并垂直相交圆直径

r12=r32+l12
r22=r32+l22

r12r22=l12l22
r12r22=(l1+l2)(l1l2)
r12r22=(2l1L)L
l1=[(r12r22)/L+L]/2
l2=Ll1

x1=r1l1
x2=r2l2

typedef struct point {
    double x,y,z;
    point() {

    }
    point(double a, double b,double c) {
        x = a;
        y = b;
        z = c;
    }
    point operator -(const point &b)const {     //返回减去后的新点
        return point(x - b.x, y - b.y,z-b.z);
    }
    point operator +(const point &b)const {     //返回加上后的新点
        return point(x + b.x, y + b.y,z+b.z);
    }
    //数乘计算
    point operator *(const double &k)const {    //返回相乘后的新点
        return point(x * k, y * k,z*k);
    }
    point operator /(const double &k)const {    //返回相除后的新点
        return point(x / k, y / k,z/k);
    }
    double operator *(const point &b)const {    //点乘
        return x*b.x + y*b.y+z*b.z;
    }
}point;
double dist(point p1, point p2) {       //返回平面上两点距离
    return sqrt((p1 - p2)*(p1 - p2));
}
typedef struct sphere {//球
    double r;
    point centre;
}sphere;
void SphereInterVS(sphere a, sphere b,double &v,double &s) {
    double d = dist(a.centre, b.centre);//球心距
    double t = (d*d + a.r*a.r - b.r*b.r) / (2.0 * d);//
    double h = sqrt((a.r*a.r) - (t*t)) * 2;//h1=h2,球冠的高
    double angle_a = 2 * acos((a.r*a.r + d*d - b.r*b.r) / (2.0 * a.r*d));  //余弦公式计算r1对应圆心角,弧度
    double angle_b = 2 * acos((b.r*b.r + d*d - a.r*a.r) / (2.0 * b.r*d));  //余弦公式计算r2对应圆心角,弧度
    double l1 = ((a.r*a.r - b.r*b.r) / d + d) / 2;
    double l2 = d - l1;
    double x1 = a.r - l1, x2 = b.r - l2;//分别为两个球缺的高度
    double v1 = PI*x1*x1*(a.r - x1 / 3);//相交部分r1圆所对应的球缺部分体积
    double v2 = PI*x2*x2*(b.r - x2 / 3);//相交部分r2圆所对应的球缺部分体积
     v = v1 + v2;//相交部分体积
    double s1 = PI*a.r*x1;  //r1对应球冠表面积
    double s2 = PI*a.r*x2;  //r2对应球冠表面积
     s = 4 * PI*(a.r*a.r + b.r*b.r) - s1 - s2;//剩余部分表面积
}
相关标签: 计算几何