两圆相交到两球相交

首先，定义一些东西

const double PI = acos(-1.0);
typedef struct point {
    double x,y;
    point() {
    }
    point(double a, double b) {
        x = a;
        y = b;
    }
    point operator -(const point &b)const {     //返回减去后的新点
        return point(x - b.x, y - b.y);
    }
    point operator +(const point &b)const {     //返回加上后的新点
        return point(x + b.x, y + b.y);
    }
    point operator *(const double &k)const {    //返回相乘后的新点
        return point(x * k, y * k);
    }
    point operator /(const double &k)const {    //返回相除后的新点
        return point(x / k, y / k);
    }
    double operator ^(const point &b)const {    //叉乘
        return x*b.y - y*b.x;
    }
    double operator *(const point &b)const {    //点乘
        return x*b.x + y*b.y;
    }
}point;
typedef struct circle {//圆
    double r;
    point centre;
}circle;

double dist(point p1, point p2) {       //返回平面上两点距离
    return sqrt((p1 - p2)*(p1 - p2));
}

• 两圆相交
  两圆关系，可以根据圆心距离和半径的关系来判断，现在只考虑相交的情况，即圆心距L$L$在两圆半径之和|r1+r2|$|r_1+r_2|$及两圆半径之差|r1−r2|$|r_1-r_2|$之间。
  如上图所示，已知r1,r2,L$r_1,r_2,L$那就可以得到很多东西。
  根据勾股定理，可以得到
  r21−h21=l21$r_1^2-h_1^2=l_1^2$
  r22−h21=l22$r_2^2-h_1^2=l_2^2$
  L=l1+l2$L=l_1+l_2$
  联立推出
  h1=r21−(L2+r21−r222L)2−−−−−−−−−−−−−√$h_1=\sqrt{r_1^2-(\frac{L^2+r_1^2-r_2^2}{2L}{)}^2}$
  h1=r22−(L2+r22−r212L)2−−−−−−−−−−−−−√$h_1=\sqrt{r_2^2-(\frac{L^2+r_2^2-r_1^2}{2L}{)}^2}$
  h1=h2$h_1=h_2$
• 有了这个就可以算两圆相交的弧长了，但是需要先算出角度

用余弦公式可以算出anglea$angl{e}_a$和angleb$angl{e}_b$
cos(anglea)=r21+L2−r222Lr1$cos(angl{e}_a)=\frac{r_1^2+L^2-r_2^2}{2L{r}_1}$
cos(angleb)=r22+L2−r212Lr2$cos(angl{e}_b)=\frac{r_2^2+L^2-r_1^2}{2L{r}_2}$
但是实际相交的弧长所对应的圆心角是上述所求角的两倍，所以乘以2。
最后利用弧长公式即可计算两圆相交部分的弧长。
弧长=Pi$Pi$*对应圆心角(弧度制)

void CircleInterLen(circle a, circle b, double &la, double &lb) {
    double d = dist(a.centre, b.centre);//圆心距
    double t = (d*d + a.r*a.r - b.r*b.r) / (2.0 * d);//
    double h = sqrt((a.r*a.r) - (t*t)) * 2;//h1=h2
    double angle_a = 2 * acos((a.r*a.r + d*d - b.r*b.r) / (2.0 * a.r*d));  
    //余弦公式计算r1对应圆心角，弧度
    double angle_b = 2 * acos((b.r*b.r + d*d - a.r*a.r) / (2.0 * b.r*d));  
    //余弦公式计算r2对应圆心角，弧度
    la = angle_a*a.r;//r1所对应的相交弧长
    lb = angle_b*b.r;//r2所对应的相交弧长
    //double rest_la = 2.0 * PI * a.r - la;//r1圆剩余部分弧长
    //double rest_lb = 2.0 * PI * b.r - lb;//r2圆剩余部分弧长
}

剩下部分的弧长只需要用原来的弧长相减就行。

• 再看相交部分的面积:

  扇形面积公式:S=lr2$S=\frac{lr}{2}$(l为弧长，r为半径)=nr22$\frac{n{r}^2}{2}$(n为圆心角，弧度制)
  相交部分面积包含扇形减去三角形的面积
  

void CircleInterArea(circle a, circle b,double &s1,double &s2) {
    double d = dist(a.centre, b.centre);//圆心距
    double t = (d*d + a.r*a.r - b.r*b.r) / (2.0 * d);//
    double h = sqrt((a.r*a.r) - (t*t)) * 2;//h1=h2
    double angle_a = 2 * acos((a.r*a.r + d*d - b.r*b.r) / (2.0 * a.r*d));  
    //余弦公式计算r1对应圆心角，弧度
    double angle_b = 2 * acos((b.r*b.r + d*d - a.r*a.r) / (2.0 * b.r*d));  
    //余弦公式计算r2对应圆心角，弧度
    double la = angle_a*a.r;//r1所对应的相交弧长
    double lb = angle_b*b.r;//r2所对应的相交弧长
    s1 = la*a.r / 2.0 - a.r*a.r*sin(angle_a) / 2.0; //相交部分r1圆的面积
    s2 = lb*b.r / 2.0 - b.r*b.r*sin(angle_b) / 2.0; //相交部分r2圆的面积
    double rest_s1 = PI*a.r*a.r - s1 - s2;//r1圆剩余部分面积，不含相交部分面积
    double rest_s2 = PI*b.r*b.r - s1 - s2;//r1圆剩余部分面积，不含相交部分面积
}

下面考虑两球相交：

相交部分如下:

但实际上，如果将其投影至平面，还是刚才的样子

从上可以知道，相交部分体积是两个球缺的和。
球冠面积S=2πrh$S=2\pi rh$
球缺的体积公式为V=πh2(r−h3)$V=\pi h^2(r-\frac{h}{3})$
h$h$球冠高
r$r$球半径

两球心距离=L$L$ 半径分别为r1r2$r_1{r}_2$
|r1−r2|<L<|r1+r2|$|r_1-r_2|<L<|r_1+r_2|$
两球相交的截面为平面，相交线为圆半径为r3$r_3$
截面到球心的距离分别为l1l2$l_1{l}_2$
l1+l2=L$l_1+l_2=L$
L$L$直线过相交圆心并垂直相交圆直径

r21=r23+l21$r_1^2=r_3^2+l_1^2$
r22=r23+l22$r_2^2=r_3^2+l_2^2$

r21−r22=l21−l22$r_1^2-r_2^2=l_1^2-l_2^2$
r21−r22=(l1+l2)(l1−l2)$r_1^2-r_2^2=(l_1+l_2)(l_1-l_2)$
r21−r22=(2l1−L)L$r_1^2-r{2}^2=(2l_1-L)L$
l1=[(r21−r22)/L+L]/2$l_1=[(r_1^2-r_2^2)/L+L]/2$
l2=L−l1$l_2=L-l_1$

x1=r1−l1$x_1=r_1-l_1$
x2=r2−l2$x_2=r_2-l_2$

typedef struct point {
    double x,y,z;
    point() {

    }
    point(double a, double b,double c) {
        x = a;
        y = b;
        z = c;
    }
    point operator -(const point &b)const {     //返回减去后的新点
        return point(x - b.x, y - b.y,z-b.z);
    }
    point operator +(const point &b)const {     //返回加上后的新点
        return point(x + b.x, y + b.y,z+b.z);
    }
    //数乘计算
    point operator *(const double &k)const {    //返回相乘后的新点
        return point(x * k, y * k,z*k);
    }
    point operator /(const double &k)const {    //返回相除后的新点
        return point(x / k, y / k,z/k);
    }
    double operator *(const point &b)const {    //点乘
        return x*b.x + y*b.y+z*b.z;
    }
}point;
double dist(point p1, point p2) {       //返回平面上两点距离
    return sqrt((p1 - p2)*(p1 - p2));
}
typedef struct sphere {//球
    double r;
    point centre;
}sphere;
void SphereInterVS(sphere a, sphere b,double &v,double &s) {
    double d = dist(a.centre, b.centre);//球心距
    double t = (d*d + a.r*a.r - b.r*b.r) / (2.0 * d);//
    double h = sqrt((a.r*a.r) - (t*t)) * 2;//h1=h2，球冠的高
    double angle_a = 2 * acos((a.r*a.r + d*d - b.r*b.r) / (2.0 * a.r*d));  //余弦公式计算r1对应圆心角，弧度
    double angle_b = 2 * acos((b.r*b.r + d*d - a.r*a.r) / (2.0 * b.r*d));  //余弦公式计算r2对应圆心角，弧度
    double l1 = ((a.r*a.r - b.r*b.r) / d + d) / 2;
    double l2 = d - l1;
    double x1 = a.r - l1, x2 = b.r - l2;//分别为两个球缺的高度
    double v1 = PI*x1*x1*(a.r - x1 / 3);//相交部分r1圆所对应的球缺部分体积
    double v2 = PI*x2*x2*(b.r - x2 / 3);//相交部分r2圆所对应的球缺部分体积
     v = v1 + v2;//相交部分体积
    double s1 = PI*a.r*x1;  //r1对应球冠表面积
    double s2 = PI*a.r*x2;  //r2对应球冠表面积
     s = 4 * PI*(a.r*a.r + b.r*b.r) - s1 - s2;//剩余部分表面积
}