1. 割点与连通度
在无向连通图中，删除一个顶点v及其相连的边后，原图从一个连通分量变成了两个或多个连通分量，则称顶点v为割点，同时也称关节点(Articulation Point)。一个没有关节点的连通图称为重连通图(biconnected graph)。若在连通图上至少删去k 个顶点才能破坏图的连通性，则称此图的连通度为k。
关节点和重连通图在实际中较多应用。显然，一个表示通信网络的图的连通度越高，其系统越可靠，无论是哪一个站点出现故障或遭到外界破坏，都不影响系统的正常工作；又如，一个航空网若是重连通的，则当某条航线因天气等某种原因关闭时，旅客仍可从别的航线绕道而行；再如，若将大规模的集成电路的关键线路设计成重连通的话，则在某些元件失效的情况下，整个片子的功能不受影响，反之，在战争中，若要摧毁敌方的运输线，仅需破坏其运输网中的关节点即可。
简单的例子
(a)中G7 是连通图，但不是重连通图。图中有三个关节点A、B 和G 。若删去顶点B 以及所有依附顶点B 的边，G7 就被分割成三个连通分量{A、C、F、L、M、J}、{G、H、I、K}和{D、E}。类似地，若删去顶点A 或G 以及所依附于它们的边，则G7 被分割成两个连通分量。
2. 求割点的方法
暴力的方法：
- 依次删除每一个节点v
- 用DFS（或BFS）判断还是否连通
- 再把节点v加入图中
若用邻接表（adjacency list），需要做\(V\)次DFS，时间复杂度为\(O(V*(V+E))\)。（题外话：我在面试实习的时候，只想到暴力方法；面试官提示只要一次DFS就就可以找到割点，当时死活都没想出来）。
有关DFS搜索树的概念
在介绍算法之前，先介绍几个基本概念
- DFS搜索树：用DFS对图进行遍历时，按照遍历次序的不同，我们可以得到一棵DFS搜索树，如图(b)所示。
- 树边：（在[2]中称为父子边），在搜索树中的实线所示，可理解为在DFS过程中访问未访问节点时所经过的边。
- 回边：（在[2]中称为返祖边、后向边），在搜索树中的虚线所示，可理解为在DFS过程中遇到已访问节点时所经过的边。
基于DFS的算法
该算法是R.Tarjan发明的。观察DFS搜索树，我们可以发现有两类节点可以成为割点：
- 对根节点u，若其有两棵或两棵以上的子树，则该根结点u为割点；
- 对非叶子节点u（非根节点），若其子树的节点均没有指向u的祖先节点的回边，说明删除u之后，根结点与u的子树的节点不再连通；则节点u为割点。
对于根结点，显然很好处理；但是对于非叶子节点，怎么去判断有没有回边是一个值得深思的问题。
我们用dfn[u]记录节点u在DFS过程中被遍历到的次序号，low[u]记录节点u或u的子树通过非父子边追溯到最早的祖先节点（即DFS次序号最小），那么low[u]的计算过程如下：
\[ low[u] = \left \{ { \matrix { { \min \{ low[u],\ low[v]\} } & {(u,v)为树边} \cr { \min \{ low[u],\ dfn[v]\} } & {(u,v)为回边且v不为u的父亲节点} \cr } } \right. \]
下表给出图(a)对应的dfn与low数组值。
| i | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| vertex | A | B | C | D | E | F | G | H | I | J | K | L | M |
| dfn[i] | 1 | 5 | 12 | 10 | 11 | 13 | 8 | 6 | 9 | 4 | 7 | 2 | 3 |
| low[i] | 1 | 1 | 1 | 5 | 5 | 1 | 5 | 5 | 8 | 2 | 5 | 1 | 1 |
对于情况2，当(u,v)为树边且low[v] >= dfn[u]时，节点u才为割点。该式子的含义：以节点v为根的子树所能追溯到最早的祖先节点要么为v要么为u。
代码实现
void dfs(int u) {
//记录dfs遍历次序
static int counter = 0;
//记录节点u的子树数
int children = 0;
ArcNode *p = graph[u].firstArc;
visit[u] = 1;
//初始化dfn与low
dfn[u] = low[u] = ++counter;
for(; p != NULL; p = p->next) {
int v = p->adjvex;
//节点v未被访问，则(u,v)为树边
if(!visit[v]) {
children++;
parent[v] = u;
dfs(v);
low[u] = min(low[u], low[v]);
//case (1)
if(parent[u] == NIL && children > 1) {
printf("articulation point: %d\n", u);
}
//case (2)
if(parent[u] != NIL && low[v] >= dfn[u]) {
printf("articulation point: %d\n", u);
}
}
//节点v已访问，则(u,v)为回边
else if(v != parent[u]) {
low[u] = min(low[u], dfn[v]);
}
}
}采用邻接表存储图，该算法的时间复杂度应与DFS相同，为\(O(V+E)\)。
3. 参考资料
[1] see xidian, 图的连通性—关节点和重连通分量.
[2] byvoid, 图的割点、桥与双连通分支.
[3] GeeksforGeeks, Articulation Points (or Cut Vertices) in a Graph.