深度学习中的线性代数

​前言

本系列文章是 Deep Learning 的读书笔记，本书是深度学习极其优秀的学习参考书，有一定难度，因此本系列文章需要搭配原书一起阅读，效果更佳，如果不看原书，则假设你具有大学高等数学一般水平。

深度学习中的线性代数

易混基础概念

• 标量：单独一个数
• 向量：一行/列数
• 矩阵：二维数组
• 张量：一般指多维（0 维张量是标量，1 维张量是向量，2 维张量是矩阵）
• 转置：沿主对角线折叠

在 Numpy 中定义矩阵的方法，以及进行转置的方法：

import numpy as np

a = np.array([[1, 2, 3], 
              [4, 5, 6]])
a = a.reshape(3, 2)
print(a)

[[1 2]
 [3 4]
 [5 6]]

基本算数关系

与高等数学中矩阵相乘内容一致：

a = np.array([[1, 2],
              [3, 4]])
b = np.array([[5, 6],
              [7, 8]])

print(a * b)
print(a.dot(b))
print(np.dot(a, b))
print(np.linalg.inv(a))

# 星(*)
[[ 5 12]
 [21 32]]

# 点乘
[[19 22]
 [43 50]]

# 点乘
[[19 22]
 [43 50]]

# 逆运算
[[-2.   1. ]
 [ 1.5 -0.5]]

范数

范数是一个函数，用于衡量长度大小的一个函数。数学上，范数包括向量范数和矩阵范数。

向量范数

我们先讨论向量的范数。向量是有方向有大小的，这个大小就用范数来表示。

严格意义上来说，范数是满足下列性质的任意函数：

• 当 p=2 时，范数(，可简化写成)称为欧几里得范数，可以计算距离。但是我们看到这里有一个开方运算，因此为了去掉这个开方，我们有可能求的是范数的平方，即范数，这就会减少一次开放运算，在后面提到的损失函数中，范数和平方范数都提供了相同的优化目标，因此平方范数更常用，计算起来也更简单，可以通过计算，这速度就很快了。
• 当 p=1 时，范数()是向量各元素绝对值之和，在机器学习领域，对于区分 0 和非 0 来说，范数比范数更好用。
• 当 p=0 时，范数实际上不是一个范数，大多数提到范数的地方都会强调说这不是一个真正意义上的范数，用来表示这个向量中有多少个非 0 元素，但是实际上它是非常有用的，在机器学习中的正则化和稀疏编码中有应用。在一个例子中是这么说的：判断用户名和密码是否正确，用户名和密码是两个向量，时，则登录成功，时，用户名和密码有一个错误，时，用户名和密码都错误。我们知道有这么回事，在日后看到相关内容时知道就好了。
• 当 p 为无穷大时，范数也被称为无穷范数、最大范数。表示向量中元素绝对值中最大的。

矩阵范数

对于矩阵范数，我们只聊一聊 Frobenius 范数，简单点说就是矩阵中所有元素的平方和再开方，还有其他的定义方法，如下，其中表示的共轭转置，tr为迹；表示的奇异值：

奇异值分解

我们熟悉特征分解矩阵中：，奇异分解与之类似：，其中矩阵的行和列的值为、正交矩阵、对角矩阵、正交矩阵，矩阵对角线上的元素称为的奇异值，其中非零奇异值是或的特征值的平方根；称为的左奇异向量，是的特征向量；称为的右奇异向量，是的特征向量。因为奇异矩阵无法求逆，而求逆又是研究矩阵的非常好的方法，因此考虑退而求其次的方法，求伪逆，这是最接近矩阵求逆的，把矩阵化为最舒服的形式去研究其他的性质，伪逆把矩阵化为主对角线上有秩那么多的非零元素，矩阵中其他的元素都是零，这也是统计学中常用的方法，在机器学习中耶非常好用。

定义

• 对角矩阵：只有主对角线含有非零元素；
• 单位向量：具有单位范数的向量，；
• 向量正交：如果两个向量都非零，则夹角 90 度；
• 标准正交：相互正交、范数为 1；
• 正交矩阵：行向量和列向量分别标准正交；
• 特征分解：将矩阵分解为特征向量和特征值；
• 特征值和特征向量：中的和；
• 正定、半正定、负定：特征值都正、非负、都负。

总结

线性代数的一大特点是“一大串”，统一的知识体系，相互之间紧密联系，非常漂亮，在深度学习中有重要的应用，还是应该要学好。

如果有必要，强烈建议听一遍课程，可以查看这里，希望你学的开心！

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